Wykaż nierówność sześcianu

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: różnica, rozkład na czynniki, znak

1. Kluczowe jest założenie $\mathsf{y}\ne \frac{4}{9}\mathsf{x}$ - bez niego kwadrat mógłby być równy zero i nierówność nie byłaby ostra.
2. Krok 1. Teza dowodu
3. dla $\mathsf{x},\mathsf{y}>0$ takich, że $\mathsf{y}\ne \frac{4}{9}\mathsf{x}$
4. $(4x+9y{)}^3>576{\mathsf{x}}^2\mathsf{y}+1296x{\mathsf{y}}^2$
5. Krok 2. Różnica lewej i prawej strony
6. $(4x+9y{)}^3-(576{\mathsf{x}}^2\mathsf{y}+1296x{\mathsf{y}}^2)$
7. rozwijamy sześcian sumy wzorem dwumianu Newtona i odejmujemy prawą stronę nierówności
8. $\boxed{64x^3-144x^{2}y-324x{y}^2+729y^3}$
9. Krok 3. Rozkład różnicy na czynniki
10. $64{\mathsf{x}}^3-144{\mathsf{x}}^2\mathsf{y}-324x{\mathsf{y}}^2+729{\mathsf{y}}^3$
11. różnicę zapisujemy jako iloczyn kwadratu różnicy i sumy tych samych dwóch wyrażeń
12. $\boxed{(4x-9y{)}^2(4x+9y)}$
13. Krok 4. Znak iloczynu i wniosek
14. $(4x-9y{)}^2>0$
15. kwadrat liczby różnej od zera jest zawsze dodatni, a założenie wyklucza równość tych wyrażeń
16. $4x+9y>0$
17. suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia
18. $(4x-9y{)}^2(4x+9y)>0$
19. iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni
20. $\boxed{(4x+9y{)}^3>576{\mathbf{x}}^2\mathbf{y}+1296x{\mathbf{y}}^2}$

Częsty błąd: zapisanie $(4x-9y{)}^2\ge 0$ i pominięcie uzasadnienia ostrości nierówności - bez odwołania się do założenia $\mathsf{y}\ne \frac{4}{9}\mathsf{x}$ kwadrat mógłby wynosić zero, a dowód nie byłby kompletny. Drugi typowy błąd: pominięcie współczynnika $3$ przy rozwijaniu sześcianu sumy wzorem dwumianu Newtona.