Nierówność dwóch zmiennych (dowód SOS)

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: suma kwadratów (SOS)

1. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie trzy kwadraty są zerami jednocześnie, czyli dla $\mathsf{x}=2\text{oraz}\mathsf{y}=2$.
2. Krok 1. Teza
3. Nierówność ma zachodzić dla każdych $\mathsf{x},\mathsf{y}\in \mathbb{R}$.
4. $\mathsf{xy}+2x+2y\le {\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2+4$
5. Krok 2. Przekształcenie równoważne
6. Przenosimy wszystko na jedną stronę i domykamy pełne kwadraty.
7. ${\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2+4-\mathsf{xy}-2x-2y\ge 0$
8. po przeniesieniu lewej strony na prawą wystarczy wykazać, że różnica jest nieujemna; mnożymy przez $2$, żeby dało się domknąć pełne kwadraty
9. $2{\mathsf{x}}^2+2{\mathsf{y}}^2-2xy-4x-4y+8\ge 0$
10. rozdzielamy $2{\mathsf{x}}^2$ i $2{\mathsf{y}}^2$ po jednym kwadracie do trzech grup - każda grupa dostanie komplet wyrazów pełnego kwadratu
11. $\left({\mathsf{x}}^2-2xy+{\mathsf{y}}^2\right)+\left({\mathsf{x}}^2-4x+4\right)+\left({\mathsf{y}}^2-4y+4\right)\ge 0$
12. każdy nawias to wzór skróconego mnożenia - zwijamy trzy pełne kwadraty
13. $\boxed{(x-y{)}^2+(x-2{)}^2+(y-2{)}^2}\ge 0$
14. Krok 3. Wniosek
15. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.
16. $(\mathsf{x}-\mathsf{y}{)}^2\ge 0,(\mathsf{x}-2{)}^2\ge 0,(\mathsf{y}-2{)}^2\ge 0$
17. suma trzech liczb nieujemnych jest nieujemna, więc przekształcona nierówność zachodzi dla wszystkich $\mathsf{x},\mathsf{y}$ - a była równoważna tezie
18. $\boxed{\mathbf{xy}+2x+2y\le {\mathbf{x}}^2+{\mathbf{y}}^2+4}■$

Próba rozkładu bez pomnożenia przez $2$ - z ${\mathsf{x}}^2+{\mathsf{y}}^2+4-\mathsf{xy}-2x-2y$ nie da się zbudować pełnych kwadratów o całkowitych współczynnikach, bo wyraz mieszany $-\mathsf{xy}$ wymaga połówek. Dopiero podwojenie daje $-2xy$ i komplet wyrazów do trzech kwadratów.

To standardowa metoda SOS (sum of squares): nierówność $\mathsf{W}\ge 0$ dowodzimy, zapisując $\mathsf{W}$ (lub $2W$) jako sumę kwadratów. Punkt równości odczytujemy, zerując każdy kwadrat osobno: $\mathsf{x}=\mathsf{y}$, $\mathsf{x}=2$, $\mathsf{y}=2$ dają łącznie $\mathsf{x}=2\text{oraz}\mathsf{y}=2$.