Drzewa w sadach (układ równań)

Rozwiązanie krok po kroku

Oznacz posadzone przez $\mathsf{x},\mathsf{y}$ → zapisz warunek o ocalałych → rozwiąż układ

1. Klucz: $\mathsf{x},\mathsf{y}$ to liczby POSADZONE, nie ocalałe. Warunek $80\%$ dotyczy drzew, które POZOSTAŁY, więc oba wyrazy mnożymy przez procent ocalałych ($0,85$ i $0,85$). Po skróceniu dostajemy prosty stosunek $\mathsf{y}=\text{const}\cdot \mathsf{x}$ i liniowe równanie na $\mathsf{x}$.
2. Krok 1. Oznacz i policz ocalałe
3. $\mathsf{x},\mathsf{y}$ - posadzone; ocalało $85\%$ i $85\%$
4. ${\text{ocalałe}}_1=0,85\mathsf{x},{\text{ocalałe}}_2=0,85\mathsf{y}$
5. ocalało $85\%$ posadzonych w 1. sadzie i $85\%$ w 2. sadzie
6. ${\text{ocalałe}}_2=0,8\cdot {\text{ocalałe}}_1$
7. Krok 2 (a). Ułóż układ równań
8. $\{\begin{array}{l}x+y=1440\\ 0,85y=0,8\cdot 0,85x\end{array}$
9. pierwsze równanie: razem posadzono $1440$; drugie: ocalałe w 2. sadzie to $80\%$ ocalałych w 1.
10. $\mathsf{y}=\frac{4}{5}\mathsf{x}$
11. dzielimy drugie równanie i skracamy - ocalałe znikają, zostaje czysty stosunek $\mathsf{y}$ do $\mathsf{x}$
12. $\boxed{y=\frac{4}{5}x}$
13. Krok 3 (b). Oblicz $\mathsf{x}$
14. podstaw $\mathsf{y}$ do $\mathsf{x}+\mathsf{y}=1440$
15. $\mathsf{x}+\frac{4}{5}\mathsf{x}=1440$
16. wstawiamy $\mathsf{y}=\frac{4}{5}\mathsf{x}$ do pierwszego równania - zostaje jedna niewiadoma
17. $\frac{9}{5}\mathsf{x}=1440$
18. sprowadzamy do wspólnego mianownika i mnożymy przez odwrotność współczynnika
19. $\mathsf{x}=\frac{1440\cdot 5}{9}=\boxed{800}$

Najczęstsze pomyłki: (1) potraktowanie $\mathsf{x},\mathsf{y}$ jako drzew OCALAŁYCH, a nie posadzonych - wtedy warunek procentowy stosuje się źle; (2) zastosowanie $80\%$ do liczby POSADZONYCH zamiast OCALAŁYCH ($\mathsf{y}=0,8x$ zamiast $0,85y=0,8\cdot 0,85x$); (3) podanie odpowiedzi $\mathsf{y}$ (drugi sad) lub liczby ocalałych zamiast posadzonych w pierwszym sadzie.