Budżet zespołów z procentami (układ równań)

Rozwiązanie krok po kroku

Ułóż układ: suma kwot + suma wydatków → rozwiąż → odpowiedz na pytanie

1. Klucz: pierwsze równanie to suma PRZYZNANYCH kwot, drugie - suma WYDANYCH (procent z każdej kwoty). Po rozwiązaniu układu mamy $\mathsf{x}$ i $\mathsf{y}$; ostatni krok zależy od tego, o co pyta zadanie - kwotę, wydatki (procent kwoty) albo różnicę.
2. Krok 1 (a). Ułóż układ równań
3. $\mathsf{x}$ - kwota zespołu A, $\mathsf{y}$ - kwota zespołu B
4. $\mathsf{x}+\mathsf{y}=1200000$
5. łączna kwota przyznana obu zespołom
6. $\frac{20}{100}\mathsf{x}+\frac{5}{100}\mathsf{y}=135000$
7. zespół A wydał 20% swojej kwoty, zespół B - 5% swojej; razem to 135\,000 zł
8. $\{\begin{array}{l}x+y=1200000\\ \frac{20}{100}x+\frac{5}{100}y=135000\end{array}$
9. Krok 2 (b). Rozwiąż układ
10. metoda przeciwnych współczynników
11. $20x+5y=100\cdot 135000$
12. drugie równanie mnożymy przez 100, żeby pozbyć się ułamków procentowych
13. $20x+20y=20\cdot (1200000)$
14. pierwsze równanie mnożymy przez 20, aby zrównać współczynnik przy $\mathsf{x}$
15. $(5-20)\mathsf{y}=100\cdot 135000-20\cdot 1200000$
16. odejmujemy stronami - $\mathsf{x}$ się redukuje, zostaje równanie z samym $\mathsf{y}$
17. $\mathsf{x}=\boxed{500000},\mathsf{y}=\boxed{700000}$
18. Krok 3. Odpowiedź: różnica kwot
19. $|\mathsf{x}-\mathsf{y}|=|500000-700000|=\boxed{200000}$
20. różnica kwot przyznanych obu zespołom

Najczęstsze pomyłki: (1) zapisanie w drugim równaniu sumy wydanych jako $\frac{20}{100}\mathsf{x}+\frac{5}{100}\mathsf{y}=1200000$ (całość zamiast wydanych); (2) użycie procentów bez dzielenia przez 100 ($20x+5y$); (3) podanie kwoty PRZYZNANEJ, gdy pytanie dotyczy WYDANEJ (lub odwrotnie) - to różne wielkości.