Rownanie liniowe z ulamkiem (E8 czerwiec 2025)

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: pomnóż przez mianownik, uporządkuj, podziel

1. Sprawdzenie: podstaw $\mathsf{x}=3$ do oryginalnego równania - obie strony muszą dać tę samą liczbę.
2. Krok 1. Dane
3. ułamek po lewej, nawias po prawej - cel: znaleźć $\mathsf{x}$
4. $3+\frac{\mathsf{x}-21}{2}=3\left(1-\mathsf{x}\right)$
5. Krok 2. Pomnóż obie strony przez mianownik $\mathsf{m}=2$
6. $3+\frac{\mathsf{x}-21}{2}=3\left(1-\mathsf{x}\right)$
7. pomnożymy KAŻDY składnik po obu stronach przez mianownik - to usunie ułamek
8. $6+(\mathsf{x}-21)=-6\left(1-\mathsf{x}\right)$
9. Krok 3. Rozwiń nawias po prawej stronie
10. $6+(\mathsf{x}-21)=-6\left(1-\mathsf{x}\right)$
11. współczynnik -6 wchodzi do każdego składnika w nawiasie - i do x, i do liczby
12. $6+\mathsf{x}-21=-6\mathsf{x}+6$
13. Krok 4. Uporządkuj: $\mathsf{x}$ na jedną stronę, liczby na drugą
14. $6+\mathsf{x}-21=-6\mathsf{x}+6$
15. przenosimy -6x z prawej na lewą oraz 6 i -21 z lewej na prawą - każdy składnik zmienia znak
16. $7\mathsf{x}=21$
17. dzielimy obie strony przez współczynnik 7 stojący przy $\mathsf{x}$
18. $\mathsf{x}=\boxed{3}$

Najczęstszy błąd: <strong>brak pomnożenia stałej $\mathsf{c}$ przez $\mathsf{m}$</strong>. Uczeń mnoży tylko ułamek (bo "chce się go pozbyć"), zapominając że $\mathsf{m}$ wchodzi do <strong>każdego</strong> składnika po obu stronach. Skutek: błędny współczynnik przy stałych, błędne $\mathsf{x}$.<br><br>Drugi częsty błąd: <strong>zła rozdzielność w nawiasie</strong>. Z $\mathsf{k}(\mathsf{rx}+\mathsf{b})$ zapis $\mathsf{krx}+\mathsf{b}$ (pominięte $\mathsf{k}\cdot \mathsf{b}$). Sprawdź: mnożnik przed nawiasem mnoży <strong>każdy</strong> wyraz wewnątrz.

Strategia eliminacji ułamka działa zawsze: jeśli jest <strong>jeden</strong> mianownik $\mathsf{m}$ - pomnóż przez $\mathsf{m}$. Jeśli kilka różnych mianowników - pomnóż przez ich <strong>NWW</strong>. Po tej operacji równanie staje się "czyste" - bez ułamków, łatwiej je porządkować.<br><br>Kontrola: po przeniesieniu wszystkich $\mathsf{x}$ na jedną stronę, współczynnik przy $\mathsf{x}$ <strong>nie może</strong> być zerem (inaczej równanie nie ma rozwiązań lub ma ich nieskończenie wiele - inny typ zadania).