Wykaż nierówność z warunkiem

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: przekształcenia równoważne

1. Krok 1. Teza i warunek
2. $\mathsf{a}+\mathsf{b}=4$, liczby dodatnie
3. $\frac{2}{4a+3b}+\frac{2}{6a+7b}\ge \frac{1}{5}$
4. Krok 2. Usuń mianowniki
5. $\frac{2}{4a+3b}+\frac{2}{6a+7b}\ge \frac{1}{5}$
6. Mianowniki są dodatnie, bo $\mathsf{a},\mathsf{b}>0$, więc mnożenie nie zmienia kierunku nierówności.
7. $40((6a+7b)+(4a+3b))\ge 4(4a+3b)(6a+7b)$
8. Wymnażamy nawias po lewej stronie, prawą zostawiamy w postaci iloczynu.
9. $\boxed{400a+400b\ge 4(4a+3b)(6a+7b)}$
10. Krok 3. Skorzystaj z warunku
11. $10\cdot 4\cdot (10a+10b)\ge 4(4a+3b)(6a+7b)$
12. Liczbę $4$ zastępujemy sumą $\mathsf{a}+\mathsf{b}$, dzięki czemu obie strony są wielomianami stopnia drugiego.
13. $10(\mathsf{a}+\mathsf{b})(10a+10b)\ge 4(4a+3b)(6a+7b)$
14. Wymnażamy nawiasy po obu stronach.
15. $100{\mathsf{a}}^2+200ab+100{\mathsf{b}}^2\ge 96{\mathsf{a}}^2+184ab+84{\mathsf{b}}^2$
16. Odejmujemy prawą stronę i redukujemy wyrazy podobne.
17. $\boxed{4a^2+16ab+16b^2\ge 0}$
18. Krok 4. Pełny kwadrat
19. $4{\mathsf{a}}^2+16ab+16{\mathsf{b}}^2\ge 0$
20. Lewa strona to rozwinięty kwadrat dwumianu.
21. $4(\mathsf{a}+2b{)}^2\ge 0$
22. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a każde przekształcenie było równoważne, więc teza jest prawdziwa.
23. $\boxed{\frac{2}{4a+3b}+\frac{2}{6a+7b}\ge \frac{1}{5}}$