Dowód nierówności wymiernej

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: przekształcenie równoważne i postać iloczynowa

1. Iloczyn dwóch liczb o tym samym znaku jest nieujemny - stąd nierówność zachodzi dla wszystkich dodatnich $\mathsf{a}$ i $\mathsf{b}$, co kończy dowód.
2. Krok 1. Nierówność do wykazania
3. założenie: $\mathsf{a}>0$ i $\mathsf{b}>0$
4. $\frac{2}{{\mathsf{b}}^3}+\frac{2}{{\mathsf{a}}^3}\le \frac{2b}{{\mathsf{a}}^4}+\frac{2a}{{\mathsf{b}}^4}$
5. Krok 2. Postać iloczynowa
6. $\frac{2}{{\mathsf{b}}^3}+\frac{2}{{\mathsf{a}}^3}\le \frac{2b}{{\mathsf{a}}^4}+\frac{2a}{{\mathsf{b}}^4}$
7. mnożymy obie strony przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności się nie zmienia - przekształcenie jest równoważne
8. $\mathsf{a}{\mathsf{b}}^4+\mathsf{b}{\mathsf{a}}^4\le {\mathsf{a}}^5+{\mathsf{b}}^5$
9. przenosimy wszystkie składniki na jedną stronę - badamy znak różnicy prawej i lewej strony
10. $0\le {\mathsf{a}}^5-\mathsf{b}{\mathsf{a}}^4+{\mathsf{b}}^5-\mathsf{a}{\mathsf{b}}^4$
11. grupujemy składniki parami i z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik
12. $0\le {\mathsf{a}}^4(\mathsf{a}-\mathsf{b})-{\mathsf{b}}^4(\mathsf{a}-\mathsf{b})$
13. wspólny nawias wyłączamy przed całe wyrażenie - otrzymujemy postać iloczynową
14. $\boxed{(a-b)\left(a^4-b^4\right)\ge 0}$
15. Gdy $\mathsf{a}\ge \mathsf{b}$
16. $\mathsf{a}-\mathsf{b}\ge 0$
17. funkcja ${\mathsf{t}}^4$ jest rosnąca dla $\mathsf{t}>0$, więc większa podstawa daje większą potęgę
18. ${\mathsf{a}}^4-{\mathsf{b}}^4\ge 0$
19. Gdy $\mathsf{a}<\mathsf{b}$
20. $\mathsf{a}-\mathsf{b}<0$
21. z tej samej monotoniczności mniejsza podstawa daje mniejszą potęgę - oba czynniki są ujemne
22. ${\mathsf{a}}^4-{\mathsf{b}}^4<0$
23. Krok 3. Wniosek
24. czynniki mają zawsze ten sam znak, więc ich iloczyn jest nieujemny
25. $(\mathsf{a}-\mathsf{b})\left({\mathsf{a}}^4-{\mathsf{b}}^4\right)\ge 0\Rightarrow \boxed{\frac{2}{{\mathbf{b}}^3}+\frac{2}{{\mathbf{a}}^3}\le \frac{2b}{{\mathbf{a}}^4}+\frac{2a}{{\mathbf{b}}^4}}$