Środkowa a funkcje trygonometryczne
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną. Punkt D jest środkiem boku AB. Przyprostokątna AB ma długość 6, a środkowa CD ma długość 5. Oznaczmy kąt ADC przez α, natomiast kąt ABC przez β (zobacz rysunek).
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt α: w trójkącie prostokątnym ACD - brakujący bok z Pitagorasa, potem funkcja
- Klucz 18.1: α jest w trójkącie ACD z kątem prostym przy A. Przeciwprostokątna to CD (naprzeciw kąta prostego). Funkcję liczymy z definicji, biorąc właściwe boki względem kąta α przy wierzchołku D.
- Krok 1. Boki trójkąta ACD
- kąt prosty przy A; brakuje boku AC
- AC = √(CD^2 - AD^2) = √(5^2 - 3^2) = 4
- z dwóch danych boków wyznaczamy trzeci: kwadrat przeciwprostokątnej to suma kwadratów przyprostokątnych
- AD = 3, AC = 4, CD = 5
- Krok 2. Tangens kąta α
- z definicji w trójkącie prostokątnym
- α = AC/AD = 4/3
- podstawiamy długości boków - stosunek jest niezależny od skali trójkąta
- α = AC/AD = 4/3
Kąt β: w trójkącie prostokątnym ACB - przeciwprostokątna BC z Pitagorasa
- Klucz 18.2: β jest w trójkącie ACB (nie ACD!). Przyprostokątne to całe AB = 6 (nie połowa) i AC, a przeciwprostokątna BC wychodzi niewymierna - zostawiamy pierwiastek w mianowniku.
- Krok 1. Przeciwprostokątna BC
- AB = 6, AC = 4
- BC = √(AB^2 + AC^2) = √(6^2 + 4^2)
- przeciwprostokątna BC leży naprzeciw kąta prostego przy A; jej kwadrat to suma kwadratów przyprostokątnych AB i AC
- BC = 2√(13)
- Krok 2. Tangens kąta β
- z definicji w trójkącie prostokątnym
- β = AC/AB = 4/6
- podstawiamy boki; przy sinusie i cosinusie w mianowniku jest BC = 2√(13), a ułamek upraszczamy
- β = AC/AB = 2/3
Najczęstsze pomyłki: (1) mylenie trójkątów - α jest w ACD (bok CD), a β w ACB (bok BC); (2) użycie AD (połowy) zamiast całego AB przy kącie β; (3) pomylenie przyprostokątnej przyległej z przeciwległą przy wyborze / /; (4) zapominanie o Pitagorasie dla brakującego boku.