Środkowa a funkcje trygonometryczne

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym bok BC jest przeciwprostokątną. Punkt D jest środkiem boku AB . Przyprostokątna AB ma długość 6 , a środkowa CD ma długość 5 . Oznaczmy kąt ADC przez , natomiast kąt ABC przez (zobacz rysunek).

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Kąt : w trójkącie prostokątnym ACD - brakujący bok z Pitagorasa, potem funkcja

Klucz 18.1: jest w trójkącie ACD z kątem prostym przy A . Przeciwprostokątna to CD (naprzeciw kąta prostego). Funkcję liczymy z definicji, biorąc właściwe boki względem kąta przy wierzchołku D .
Krok 1. Boki trójkąta ACD
kąt prosty przy A ; brakuje boku AC
AC = CD^2 - AD^2 = 5^2 - 3^2 = 4
z dwóch danych boków wyznaczamy trzeci: kwadrat przeciwprostokątnej to suma kwadratów przyprostokątnych
AD = 3, AC = 4, CD = 5
Krok 2. Tangens kąta
z definicji w trójkącie prostokątnym
= AC AD = 4 3
podstawiamy długości boków - stosunek jest niezależny od skali trójkąta
= AC AD = 4 3

Kąt : w trójkącie prostokątnym ACB - przeciwprostokątna BC z Pitagorasa

Klucz 18.2: jest w trójkącie ACB (nie ACD !). Przyprostokątne to całe AB = 6 (nie połowa) i AC , a przeciwprostokątna BC wychodzi niewymierna - zostawiamy pierwiastek w mianowniku.
Krok 1. Przeciwprostokątna BC
AB = 6 , AC = 4
BC = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 4^2
przeciwprostokątna BC leży naprzeciw kąta prostego przy A ; jej kwadrat to suma kwadratów przyprostokątnych AB i AC
BC = 2 13
Krok 2. Tangens kąta
z definicji w trójkącie prostokątnym
= AC AB = 4 6
podstawiamy boki; przy sinusie i cosinusie w mianowniku jest BC = 2 13 , a ułamek upraszczamy
= AC AB = 2 3

Najczęstsze pomyłki: (1) mylenie trójkątów - jest w ACD (bok CD ), a w ACB (bok BC ); (2) użycie AD (połowy) zamiast całego AB przy kącie ; (3) pomylenie przyprostokątnej przyległej z przeciwległą przy wyborze / / ; (4) zapominanie o Pitagorasie dla brakującego boku.