Wartość wyrażenia trygonometrycznego
Kąt o mierze α jest rozwarty oraz α = 1/2. Oblicz wartość wyrażenia 4 tgα.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: jedynka trygonometryczna + uproszczenie wyrażenia
- Klucz to dwa fakty: kąt rozwarty wymusza znak (α < 0), a tangens zawsze rozpisujemy jako α α - wtedy wyrażenie redukuje się do jednej funkcji.
- Krok 1. Dane i znaki funkcji
- Kąt rozwarty leży w II ćwiartce: α > 0, a α < 0 i tgα < 0.
- α = #DFC173 1/2, 90° < α < 180°
- Krok 2. Wyznacz α z jedynki
- Z tożsamości ^2α + ^2α = 1.
- ^2α = 1 - ^2α
- przenosimy ^2α na drugą stronę i wstawiamy daną wartość
- ^2α = 1 - #E53A3A 1/4
- podnosimy daną do kwadratu i odejmujemy od jedynki
- ^2α = 3/4
- pierwiastkujemy; kąt jest rozwarty, więc bierzemy wartość ujemną
- α = -√(3)/2
- Krok 3. Uprość i podstaw
- Korzystamy z tgα = α α.
- 4 tgα
- tangens zapisujemy jako iloraz sinusa przez cosinus
- 4 · α α = 4 · #E53A3A -√(3)/2 #E53A3A 1/2
- dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność; wstawiamy obie wartości
- -4√(3)
Pominięcie znaku przy pierwiastkowaniu jedynki - dla kąta rozwartego α jest ujemny. Wzięcie wartości dodatniej daje błędny znak całego wyniku.
Tangensa nie trzeba liczyć osobno. Po wstawieniu tgα = α α sinusy zwykle się skracają i zostaje wyrażenie zależne tylko od α.