Iloczyn kolejnych wyrazów ciągu

Ze zbioru siedmiu liczb 3, 4, 5,, 9 losujemy bez zwracania siedem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez 3.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: warunek na pozycje wielokrotności

  1. Klucz do zadania: warunek o iloczynie tłumaczymy na warunek o pozycjach wielokrotności liczby 3, a potem rozdzielamy zliczanie na układ pozycji i permutacje wewnątrz grup.
  2. Krok 1. Model losowania
  3. Losujemy bez zwracania wszystkie 7 liczb, więc wynik doświadczenia to ustawienie całego zbioru 3, 4, 5,, 9 w ciąg. Każda kolejność jest jednakowo prawdopodobna, dlatego stosujemy model klasyczny: | | to liczba wszystkich możliwych ustawień - pierwszą liczbę wybieramy na 7 sposobów, drugą z pozostałych, itd., co daje 7!.
  4. | | = 7! = 5040
  5. Krok 2. Warunek na pozycje
  6. Tłumaczymy warunek o iloczynie na warunek o pozycjach. Na schemacie: kolorowe pola to pozycje wielokrotności liczby 3, a każde szare pole to przerwa, w której zmieści się co najwyżej 2 spośród pozostałych liczb (przerwa może też zostać pusta).
  7. wielokrotności 3 w zbiorze: 3, 6, 9
  8. czynnik 3 w iloczynie może pochodzić wyłącznie z tych liczb - iloczyn trzech kolejnych wyrazów dzieli się przez 3 dokładnie wtedy, gdy wśród tych trzech wyrazów stoi co najmniej jedna wielokrotność liczby 3
  9. wśród każdych 3 kolejnych wyrazów co najmniej jedna wielokrotność
  10. gdyby w którejś przerwie (między sąsiednimi wielokrotnościami, przed pierwszą albo za ostatnią) stanęło 3 lub więcej pozostałych liczb, to istniałoby okno 3 kolejnych wyrazów bez żadnej wielokrotności - iloczyn tego okna nie dzieliłby się przez 3; dlatego każda przerwa mieści co najwyżej 2 liczb
  11. każda z 4 przerw mieści ≤ 2 liczb
  12. Krok 3. Zliczamy sprzyjające
  13. Ciąg sprzyjający budujemy w trzech niezależnych decyzjach: wybieramy układ pozycji wielokrotności, potem rozmieszczamy na nich konkretne wielokrotności, a na końcu pozostałe liczby - i mnożymy liczby możliwości (reguła mnożenia).
  14. układy pozycji wielokrotności: 19
  15. układ pozycji to podział 4 pozostałych liczb na 4 przerw ze schematu z kroku 2, przy czym żadna przerwa nie może dostać więcej niż 2 liczb (przerwa może być pusta) - takich podziałów jest dokładnie 19
  16. |A| = 19 · 3! · 4!
  17. układ mówi tylko, które pozycje zajmą wielokrotności - na tych pozycjach 3 konkretnych wielokrotności ustawiamy na 3! sposobów, a 4 pozostałych liczb na wolnych pozycjach na 4! sposobów; decyzje są niezależne, więc liczby możliwości mnożymy
  18. |A| = 19 · 6 · 24 = 2736
  19. Krok 4. Prawdopodobieństwo
  20. Model klasyczny: dzielimy liczbę ciągów sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych ciągów.
  21. P(A) = |A| | | = 2736 5040
  22. licznik i mianownik dzielimy przez ich największy wspólny dzielnik NWD(2736,, 5040) = 144
  23. P(A) = 19 35

Zapomnienie któregoś z trzech czynników w |A| = W · m! · (n-m)!. Zliczenie samych układów pozycji (W) to za mało - trzeba jeszcze policzyć, na ile sposobów można powstawiać konkretne liczby w te miejsca: wielokrotności na swoje pozycje (m! sposobów) i resztę liczb na pozostałe pozycje ((n-m)! sposobów). Każdy pominięty czynnik zaniża liczbę ciągów sprzyjających.

Inne zadania z tego tematu

Wszystkie zadania z tematu Prawdopodobieństwo klasyczne i warunkowe