Iloraz potęgi i łańcucha logarytmów

Dane są liczby rzeczywiste a oraz b : a = 16^ , 1 2 _4 36 ;- ; _4 3 , b = _ 3 ! (2^ 2 ) _ 2 ! (5^ 1 ) _ 5 ! (3^ 2 ) . Oblicz wartość ilorazu a 3 b . Wynik zapisz w postaci 3^k , gdzie k Z .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: sprowadź podstawy i skróć czynnik 4

  1. Sedno: 16 = 4^2 podwaja cały wykładnik i uzgadnia podstawę z logarytmem, a cykliczny iloczyn logarytmów w b znosi się do 1 . Po podstawieniu czynnik 4 z a skraca się z mianownikiem i zostaje czysta potęga trójki.
  2. Krok 1. Co liczymy
  3. Dwie liczby liczymy osobno, potem dzielimy a przez 3 b .
  4. a = 16^ , 1 2 _4 36 ;- ; _4 3 b = _ 3 ! (2^ 2 ) _ 2 ! (5^ 1 ) _ 5 ! (3^ 2 )
  5. Krok 2A. Liczba a
  6. 16 = 4^2 , więc cały wykładnik mnoży się przez 2 .
  7. a = (4^ 2 )^ 1 2 _4 36 ;- ; _4 3
  8. podstawę zapisujemy jako potęgę czwórki - to pozwala uzgodnić ją z logarytmem o podstawie 4
  9. a = 4^ ,2 ( 1 2 _4 36 ;- ; _4 3 )
  10. przy potędze z potęgi wykładniki mnożymy - dwójka wchodzi do środka
  11. a = 4^ , _4 36 ;- ; 2 _4 3
  12. połowa przy pierwszym logarytmie znika, a współczynnik przy _4 3 się podwaja
  13. a = 4^ , _4 4
  14. różnicę logarytmów o tej samej podstawie zwijamy w logarytm ilorazu, a 4^ _4 t =t
  15. a = 4
  16. Krok 2B. Liczba b
  17. Wykładnik argumentu wychodzi przed logarytm, a cykliczny iloczyn logarytmów daje 1 .
  18. b = 2 _ 3 2 1 _ 2 5 2 _ 5 3
  19. wykładnik z argumentu każdego logarytmu wyciągamy przed logarytm jako czynnik
  20. b = 4 ( _ 3 2 _ 2 5 _ 5 3 ) _ = 1
  21. cykliczny iloczyn logarytmów po podstawach 2,3,5 jest równy 1 - podstawy skracają się w kółko
  22. b = 4 1 = 4
  23. Krok 3. Iloraz a 3 b
  24. Czynnik 4 z licznika skraca się z mianownikiem.
  25. a 3 b = 4 3^ 0 3 4
  26. w liczniku zapisujemy a = 4 3^ 0 , w mianowniku iloczyn dzielnika i policzonego b
  27. a 3 b = 4 3^ 0 #E53A3A 4 3^ 1
  28. mianownik rozkładamy tak, by wydzielić czynnik 4 i potęgę trójki
  29. a 3 b = 4 3^ 0 4 3^ 1
  30. czwórki w liczniku i mianowniku się skracają - zostaje sam iloraz potęg trójki
  31. a 3 b = 3^ 0 - 1 = 3^ -1

Potraktowanie 16 jak 4 i pominięcie mnożenia całego wykładnika przez 2 - wtedy a = 4^ 1 2 _4 36 ;- ; _4 3 zamiast poprawnego, co zaniża potęgę trójki. Pamiętaj: 16 = 4^2 , więc każdy składnik wykładnika podwaja się.

Iloczyn logarytmów _ 3 2 _ 2 5 _ 5 3 jest zawsze równy 1 niezależnie od kolejności podstaw - wynika to z reguły zmiany podstawy _a b = b a : liczniki i mianowniki skracają się cyklicznie.