Suma kolejnych potęg

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n 0 liczba 7^ n + 7^ n+1 jest podzielna przez 8 .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wyłączenie wspólnego czynnika

  1. Liczba zapisana jako iloczyn z czynnikiem 8 jest podzielna przez 8 dla każdej liczby całkowitej n 0 . To kończy dowód.
  2. Krok 1. Wyłącz wspólny czynnik
  3. Najniższa potęga to 7^ n - wyłączamy ją przed nawias.
  4. 7^ n + 7^ n+1 = 7^ n ( 1 + 7 )
  5. 7^ n jest wspólnym czynnikiem każdego składnika; w nawiasie zostają kolejne potęgi 7 od 7^ 0 =1 wzwyż
  6. 7^ n ( 1 + 7 )
  7. Krok 2. Oblicz wartość nawiasu
  8. Sumujemy potęgi w nawiasie - to stała liczba, niezależna od n .
  9. 7^ n ( 1 + 7 ) = 7^ n 8
  10. obliczamy sumę potęg w nawiasie: 1 + 7 = 8
  11. 7^ n 8
  12. Krok 3. Wskaż dzielnik
  13. Suma w nawiasie jest równa dzielnikowi 8 .
  14. 7^ n 8 = 8 7^ n
  15. wartość nawiasu 8 jest dokładnie dzielnikiem 8 , więc to ona jest szukanym czynnikiem
  16. 8 7^ n

Wyłączenie 7^ n+1 albo zapis 7^ n 2 zamiast 7^ n - przed nawias wychodzi najniższa potęga 7^ n , bo tylko ona dzieli każdy składnik sumy.

Klucz dowodu: po wyłączeniu 7^ n w nawiasie zostaje stała liczba 8 niezależna od n . Skoro 8 dzieli 8 , to dzieli całe wyrażenie dla każdego n .