Różnica potęg

Wykaż, że liczba 4^ 57 - 2^ 109 jest podzielna przez 31 .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wspólna podstawa i wyłączenie czynnika

  1. Liczba zapisana jako 2^ 109 31 ma czynnik 31 , więc jest podzielna przez 31 . To kończy dowód.
  2. Krok 1. Wspólna podstawa
  3. 4 = 2^ 2 , więc pierwszy człon zapisujemy jako potęgę 2 .
  4. 4^ 57 - 2^ 109 = ( #E53A3A 2^ 2 )^ 57 - 2^ 109
  5. podstawę pierwszego członu zapisujemy jako potęgę liczby 2
  6. = #E53A3A 2^ 114 - 2^ 109
  7. mnożymy wykładniki: 2 57 = 114 , oba człony mają teraz podstawę 2
  8. 2^ 114 - 2^ 109
  9. Krok 2. Wyłącz wspólny czynnik
  10. Niższy wykładnik to 109 - wyłączamy 2^ 109 przed nawias.
  11. 2^ 114 - 2^ 109 = 2^ 109 2^ 5 - 2^ 109
  12. rozbijamy wyższą potęgę: 2^ 114 = 2^ 109 2^ 5 , bo 109 + 5 = 114
  13. = 2^ 109 ( #E53A3A 2^ 5 - 1 )
  14. 2^ 109 jest wspólne dla obu składników, wyciągamy je przed nawias
  15. 2^ 109 (2^ 5 - 1 )
  16. Krok 3. Oblicz nawias i wskaż dzielnik
  17. 2^ 109 ( #E53A3A 2^ 5 - 1 ) = 2^ 109 ( 32 - 1 )
  18. 2^ 5 = 32 , więc nawias to 32 - 1
  19. = 2^ 109 31

Wyłączenie 2^ 114 zamiast 2^ 109 - przed nawias wychodzi niższa potęga (mniejszy wykładnik 109 ), bo tylko ona dzieli oba składniki.

Klucz dowodu: po sprowadzeniu do wspólnej podstawy różnica wykładników wynosi 5 , a 2^ 5 - 1 = 31 jest dokładnie szukanym dzielnikiem.