Różnica kwadratów

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a , która przy dzieleniu przez 11 daje resztę 7 , i dla każdej liczby całkowitej b , która przy dzieleniu przez 11 daje resztę 4 , liczba a^2 - b^2 jest podzielna przez 11 .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Dowód: rozkład a^2-b^2=(a-b)(a+b)

  1. Istota dowodu: skoro reszty sumują się do 11 ( 7 + 4 = 11 ), to a + b = 11(2n+1) dzieli się przez 11 - a wraz z nim cały iloczyn (a-b)(a+b) .
  2. Krok 1. Zapis parametryczny
  3. reszta 7 i reszta 4 sumują się do 7 + 4 = 11 - to klucz całego dowodu
  4. a = 11n + 7, b = 11n + 4, n Z
  5. Krok 2. Różnica kwadratów
  6. rozkładamy na czynniki, każdy liczymy osobno
  7. a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
  8. Czynnik a - b
  9. a - b = (11n + 7) - (11n + 4)
  10. te same składniki ,11n , znoszą się - zostają same reszty
  11. a - b = 7 - 4 = 3
  12. Czynnik a + b
  13. a + b = (11n + 7) + (11n + 4)
  14. sumujemy; reszty dają 7 + 4 = 11 , a ,11n + 11n = 22n
  15. a + b = 22n + 11 = 11(2n + 1)
  16. Krok 3. Wniosek
  17. iloczyn czynników zawiera mnożnik 11
  18. a^2 - b^2 = 3 #E53A3A 11(2n + 1)
  19. podstawiamy oba obliczone czynniki
  20. a^2 - b^2 = 11 [ 3(2n + 1) ]
  21. wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą, więc całość jest wielokrotnością 11
  22. a^2 - b^2 = 11 (liczba całkowita)

Częsty błąd: rozpisanie a^2 i b^2 osobno i mnożenie wielomianów. Rozkład a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) jest znacznie krótszy i od razu odsłania czynnik a+b = 11(2n+1) .

Zapis n Z (a nie N ) jest istotny - twierdzenie dotyczy wszystkich liczb całkowitych, także ujemnych. To samo n dla a i b jest dozwolone, bo dla różnych liczb po prostu bierzemy różne n .