Pole trójkąta równoramiennego z obwodu i różnicy boków

Rozwiązanie krok po kroku

Klasycznie: układ równań → Pitagoras → wynik

1. Kolejność jest ważna: najpierw boki z układu równań, potem wysokość z Pitagorasa (z połową podstawy), a dopiero na końcu szukana wielkość.
2. Krok 1. Dane
3. $\mathsf{a}$ - podstawa, $\mathsf{b}$ - ramię, $\mathsf{h}$ - wysokość na podstawę
4. $\text{obwoˊd }\mathsf{L}=64\text{ m },\text{roˊz˙nica bokoˊw }\mathsf{\Delta }=11\text{ m }$
5. Krok 2. Podstawa i ramię z układu równań
6. obwód: $\mathsf{a}+2b=\mathsf{L}$, ramię dłuższe: $\mathsf{b}=\mathsf{a}+\mathsf{\Delta }$
7. $\{\begin{array}{l}a+2b=64\\ b=a+11\end{array}$
8. ramię jest dłuższe od podstawy, więc $\mathsf{b}=\mathsf{a}+\mathsf{\Delta }$ - wstawiamy to do równania obwodu
9. $\mathsf{a}+2(\mathsf{a}+11)=64$
10. po wymnożeniu nawiasu zostaje jedno równanie z niewiadomą $\mathsf{a}$
11. $3a=64-2\cdot 11$
12. przenosimy $2\Delta$ na prawo i dzielimy obie strony przez 3
13. $\mathsf{a}=\boxed{14}$
14. ramię wyliczamy z równania różnicy
15. $\mathsf{b}=\boxed{25}$
16. Krok 3. Wysokość z twierdzenia Pitagorasa
17. ${\mathsf{h}}^2+{\left(\frac{\mathsf{a}}{2}\right)}^2={\mathsf{b}}^2$
18. ${\mathsf{h}}^2={25}^2-{\left(\frac{14}{2}\right)}^2$
19. wysokość dzieli podstawę na połowy - w trójkącie prostokątnym przyprostokątne to $\mathsf{h}$ i $\frac{\mathsf{a}}{2}$, przeciwprostokątna to ramię $\mathsf{b}$
20. ${\mathsf{h}}^2=625-49$
21. odejmujemy kwadrat połowy podstawy od kwadratu ramienia
22. ${\mathsf{h}}^2=\boxed{576}$
23. pierwiastkujemy, by otrzymać długość wysokości
24. $\mathsf{h}=\boxed{24}\text{ m }$
25. Krok 4. Pole trójkąta
26. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\cdot \mathsf{a}\cdot \mathsf{h}=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 24$
27. we wzorze na pole bierzemy podstawę $\mathsf{a}$ i wysokość $\mathsf{h}$ na nią opuszczoną
28. $\mathsf{P}=\boxed{168}{\text{ m }}^2$

Najczęstsze pomyłki: (1) użycie całej podstawy zamiast jej połowy w twierdzeniu Pitagorasa; (2) pominięcie czynnika $\frac{1}{2}$ we wzorze na pole; (3) zamiana podstawy z ramieniem przy rozwiązywaniu układu równań.