Oblicz i porównaj pola trójkątów
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: wysokość z Pitagorasa, potem pola
- Dane
- kąt prosty przy B, szukana wysokość |BC|
- |AD| = 12 cm, |DB| = 24 cm, |DC| = 74 cm
- Wysokość trójkąta
- |DB|^2 + |BC|^2 = |DC|^2
- w trójkącie DBC kąt prosty jest przy wierzchołku B, więc |DC| to przeciwprostokątna
- |BC|^2 = 74^2 - 24^2
- podnosimy dane długości do kwadratu
- |BC|^2 = 5476 - 576 = 4900
- długość odcinka jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny
- |BC| = 70 cm
- Pole trójkąta DBC
- P_ DBC = |DB| · |BC|/2
- przyprostokątne DB i BC są do siebie prostopadłe, więc jedna jest podstawą, a druga wysokością
- P_ DBC = 24 · 70 /2 = 1680 /2
- dzielimy iloczyn przez dwa
- P_ DBC = 840 cm^2
- Pole trójkąta ADC
- P_ ADC = |AD| · |BC|/2
- wysokość opuszczona z C na prostą AB to nadal odcinek BC
- P_ ADC = 12 · 70 /2 = 840 /2
- dzielimy iloczyn przez dwa
- P_ ADC = 420 cm^2
- Pole całości i stosunki pól
- P_ ABC = P_ ADC + P_ DBC = 420 + 840 = 1260 cm^2
- trójkąty ADC, DBC i ABC mają tę samą wysokość, więc ich pola są w takim stosunku jak podstawy AD, DB i AB
- P_ ADC: P_ DBC = |AD|: |DB| = 1: 2
- podstawa całego trójkąta jest sumą obu odcinków
- P_ ABC P_ ADC = |AB|/|AD| = 3
Najczęstsza pomyłka: przyjęcie |DC| za wysokość trójkąta DBC. Wysokością jest przyprostokątna |BC|, a |DC| to przeciwprostokątna.
Długość |AC| nie jest liczbą wymierną, więc obwodów trójkątów ABC i ADC nie da się zapisać liczbą całkowitą. Do ich porównania wystarczą nierówności |DC| > |BC| oraz |AC| > |AB|.