Odcinki prostopadłe w kwadracie

Punkt K leży na boku DA kwadratu ABCD o boku długości a, przy czym |DK| = 3 / 4 a. Punkt L leży na boku AB, przy czym |AL| = 1 / 3 a. Punkt M jest takim punktem boku AB, że odcinki CK i KM są prostopadłe. Odcinek DL przecina odcinki CK oraz CM w punktach - odpowiednio - P oraz Q. Wykaż, że |DP| = √(10)/5a.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Współrzędne i podobieństwo trójkątów

  1. Dla k = l (jak w oryginale CKE) prosta DL jest prostopadła do CK - trójkąt CPQ jest wtedy prostokątny w P.
  2. Krok 1. Układ współrzędnych
  3. D=(0,0), A=(a,0), B=(a,a), C=(0,a)
  4. K = ≤ft( 3/4a, 0), L = ≤ft( a, 1/3a)
  5. Krok 2. Punkt M z podobieństwa
  6. warunek CK KM
  7. DCK AKM
  8. kąty ostre przy wierzchołku K dopełniają się do 90°, więc oba trójkąty prostokątne mają te same kąty
  9. |AM| / |AK| = |DK| / |DC|
  10. |AK| = a - 3/4a = 1 / 4 a, |DK| = 3/4a, |DC| = a
  11. |AM| = #E53A3A 1 / 4 a · 3/4
  12. mnożymy ułamki i skracamy
  13. |AM| = 3 / 16 a
  14. Krok 3. Równania prostych
  15. M = ≤ft(a, 3 / 16 a)
  16. DL: y = 1/3x
  17. prosta przechodzi przez D=(0,0) i L=≤ft(a, 1/3a), więc jej współczynnik kierunkowy to 1/3a / a = 1/3
  18. CK: y = a - 4/3x
  19. prosta przechodzi przez C=(0,a) i K=≤ft(3/4a, 0): wyraz wolny a, współczynnik kierunkowy 0 - a / 3/4a - 0 = -4/3
  20. CM: y = a - 13 16 x
  21. prosta przechodzi przez C=(0,a) i M=≤ft(a, 3 / 16 a): współczynnik kierunkowy 3 / 16 a - a / a = - 13 / 16
  22. Krok 4a. Punkt P
  23. P = DL CK
  24. 1/3x = a - #E53A3A 4/3x
  25. przyrównujemy prawe strony równań prostych DL i CK
  26. ≤ft( 1/3 + 4/3)x = a
  27. dzielimy przez współczynnik przy x
  28. x_P = 3 5 a
  29. punkty D, P, L leżą na jednej prostej, więc |DP|: |DL| jest równy stosunkowi ich odciętych x_P: a
  30. |DP| / |DL| = 3 5
  31. Krok 4b. Punkt Q
  32. Q = DL CM
  33. 1/3x = a - #E53A3A 13 16 x
  34. przyrównujemy prawe strony równań prostych DL i CM
  35. ≤ft( 1/3 + 13 16)x = a
  36. dzielimy przez współczynnik przy x
  37. x_Q = 48 55 a
  38. punkty D, Q, L leżą na jednej prostej, więc |DQ|: |DL| jest równy stosunkowi ich odciętych x_Q: a
  39. |DQ| / |DL| = 48 55
  40. Krok 5. Długość odcinka
  41. |DP|
  42. |DP| = x_P 1 + ≤ft( 1/3)^ 2
  43. D=(0,0) i P leżą na prostej o współczynniku kierunkowym 1/3; √(1+≤ft(1/3)^2) = √(10) / 3
  44. |DP| = #E53A3A 3 5 a · √(10) / 3
  45. mnożymy i doprowadzamy do postaci z tezy
  46. |DP| = √(10)/5a

Inne zadania z tego tematu

Wszystkie zadania z tematu Trójkąty