Kąt środkowy i długość łuku ze średnicą
Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S i o promieniu 40. Punkt S leży na odcinku BD. Kąt BDA ma miarę 30°, a kąt DBC ma miarę 70° (zobacz rysunek).
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt ∠ BSA: środkowy = 2 × wpisany ∠ BDA
- Klucz 21.1: kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku - stąd ∠ BSA = 2α.
- Krok 1. Kąt wpisany i środkowy
- ∠ BDA = 30° - wpisany, oparty na łuku AB
- ∠ BSA = 2·∠ BDA = 2· 30°
- kąt środkowy ∠ BSA i wpisany ∠ BDA opierają się na tym samym łuku AB
- ∠ BSA = 60°
Łuk BC: średnica BD daje kąt prosty (Tales), potem długość łuku
- Klucz 21.2: średnica BD daje kąt prosty przy C (Tales). Wtedy ∠ BDC = 90° - β to kąt wpisany na łuku BC; kąt środkowy tego łuku to 2(90°-β), a długość łuku to odpowiednia część obwodu 2π R.
- Krok 1. Kąt ∠ BDC z trójkąta BCD
- BD średnica → ∠ BCD = 90° (Tales)
- ∠ BDC = 90° - ∠ DBC = 90° - 70° = 20°
- kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, więc w trójkącie BCD kąt przy D dopełnia β do 90°
- Krok 2. Kąt środkowy łuku BC
- ∠ BDC to kąt wpisany oparty na łuku BC
- kąt środkowy = 2·∠ BDC = 2· 20° = 40°
- łuk BC odpowiada kątowi środkowemu dwa razy większemu od wpisanego ∠ BDC
- Krok 3. Długość łuku BC
- część obwodu 2π · 40 odpowiadająca kątowi 40°
- |BC| = 2π R · 40 /360 = 2π · 40 · 40 /360
- długość łuku to taka część obwodu, jaką kąt środkowy stanowi z pełnych 360°
- |BC| = 80/9π
Najczęstsze pomyłki: (1) w 21.1 - podanie α (wpisanego) zamiast 2α (środkowego); (2) w 21.2 - pominięcie kroku Talesa i użycie β jako kąta wpisanego łuku BC (a to 90°-β); (3) użycie średnicy 2R zamiast promienia R we wzorze na obwód; (4) policzenie pola wycinka zamiast długości łuku.