Kąt KDL w czworokącie wpisanym w okrąg

Odcinek CD jest wysokością trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC| = |BC| . Prosta p jest prostopadła do boku BC i przecina ten bok w punkcie L . Ta prosta przecina wysokość CD w punkcie K oraz przecina bok AC w punkcie różnym od A . Dane są miary kątów | BAC| = 55^ oraz | KBD| = 45^ . Wykaż, że na czworokącie KDBL można opisać okrąg, i oblicz miarę kąta KDL .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: kąty proste dają okrąg, kąty wpisane dają wynik

  1. Cały dowód opiera się na jednym pomyśle: dwa kąty proste przy przeciwległych wierzchołkach gwarantują okrąg opisany, a okrąg pozwala przenieść kąt z wierzchołka B (łatwy do policzenia) do wierzchołka D (szukany).
  2. Krok 1. Dane
  3. CD - wysokość, więc CD AB ; prosta p prostopadła do BC w punkcie L .
  4. | BAC| = 55^ , | KBD| = 45^ , | KDB| = | KLB| = 90^
  5. Krok 2. Okrąg opisany na KDBL
  6. Na czworokącie można opisać okrąg, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe 180^ .
  7. | KDB| + | KLB| = 90^ + 90^
  8. D i L to przeciwległe wierzchołki czworokąta KDBL , a przy każdym z nich kąt prosty - z prostopadłości CD AB i p BC
  9. | KDB| + | KLB| = 180^
  10. Krok 3. Kąt KBL
  11. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
  12. | DBC| = | BAC| = 55^
  13. punkt D leży na podstawie AB , więc DBC to po prostu kąt przy wierzchołku B , równy kątowi przy A
  14. | KBL| = | DBC| - | KBD| = 55^ - 45^
  15. półprosta BK leży wewnątrz kąta DBC i rozcina go na KBD oraz KBL
  16. | KBL| = 10^
  17. Krok 4. Kąt KDL
  18. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
  19. | KDL| = | KBL|
  20. D i B leżą na okręgu opisanym na KDBL po tej samej stronie cięciwy KL , więc oba kąty są wpisane i oparte na tym samym łuku
  21. | KDL| = 10^

Uznanie, że | KDL| = 180^ - | KBL| = 170^ - tak działałoby dla kątów przy PRZECIWLEGŁYCH wierzchołkach czworokąta wpisanego w okrąg ( D i B przeciwległe są w KDBL , ale kąty KDL i KBL NIE są kątami wewnętrznymi tego czworokąta). Tu oba kąty opierają się na tej samej cięciwie KL z tej samej strony, więc są równe.

Warunek opisywalności okręgu można też uzasadnić inaczej: punkty D i L widzą odcinek KB pod kątem prostym, więc oba leżą na okręgu o średnicy KB (twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy).