Kąt środkowy i długość łuku ze średnicą

Punkty A , B , C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S i o promieniu 40. Punkt S leży na odcinku BD . Kąt BDA ma miarę 30°, a kąt DBC ma miarę 70° (zobacz rysunek).

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Kąt BSA : środkowy = 2 × wpisany BDA

  1. Klucz 21.1: kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku - stąd BSA = 2 .
  2. Krok 1. Kąt wpisany i środkowy
  3. BDA = 30^ - wpisany, oparty na łuku AB
  4. BSA = 2 BDA = 2 30^
  5. kąt środkowy BSA i wpisany BDA opierają się na tym samym łuku AB
  6. BSA = 60^

Łuk BC : średnica BD daje kąt prosty (Tales), potem długość łuku

  1. Klucz 21.2: średnica BD daje kąt prosty przy C (Tales). Wtedy BDC = 90^ - to kąt wpisany na łuku BC ; kąt środkowy tego łuku to 2(90^ - ) , a długość łuku to odpowiednia część obwodu 2 R .
  2. Krok 1. Kąt BDC z trójkąta BCD
  3. BD średnica → BCD = 90^ (Tales)
  4. BDC = 90^ - DBC = 90^ - 70^ = 20^
  5. kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, więc w trójkącie BCD kąt przy D dopełnia do 90^
  6. Krok 2. Kąt środkowy łuku BC
  7. BDC to kąt wpisany oparty na łuku BC
  8. kąt środkowy = 2 BDC = 2 20^ = 40^
  9. łuk BC odpowiada kątowi środkowemu dwa razy większemu od wpisanego BDC
  10. Krok 3. Długość łuku BC
  11. część obwodu 2 40 odpowiadająca kątowi 40^
  12. |BC| = 2 R 40 360 = 2 40 40 360
  13. długość łuku to taka część obwodu, jaką kąt środkowy stanowi z pełnych 360^
  14. |BC| = 80 9

Najczęstsze pomyłki: (1) w 21.1 - podanie (wpisanego) zamiast 2 (środkowego); (2) w 21.2 - pominięcie kroku Talesa i użycie jako kąta wpisanego łuku BC (a to 90^ - ); (3) użycie średnicy 2R zamiast promienia R we wzorze na obwód; (4) policzenie pola wycinka zamiast długości łuku.