Kąt wpisany z przecinającymi się cięciwami
Na okręgu o środku O leżą punkty A, B, C i D. Odcinek BD jest średnicą tego okręgu, a cięciwa AC przecina średnicę BD w punkcie K. Miara kąta środkowego COB jest równa 60°, a miara kąta AKD jest równa 86°. Miara kąta ostrego BDA jest równa
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: przez łuki okręgu
- Skrótowo: ∠ BDA = 90° - 86° + 60° 2 = 34° - łączy trzy fakty: kąt środkowy = łuk, kąt między cięciwami = pół sumy łuków, kąt wpisany = pół łuku.
- Krok 1. Co wiemy
- BD - średnica, kąt środkowy COB = 60°, kąt cięciw AKD = 86°
- ∠ COB = 60°, ∠ AKD = 86°
- Krok 2. Łuk BC i łuk AD
- kąt między cięciwami: ∠ AKD = 1 2 ( AD + BC)
- BC = ∠ COB = 60°
- kąt środkowy COB jest równy łukowi BC, na którym się opiera
- 86 = 1 2 ( AD + 60)
- kąt AKD to połowa sumy łuków odciętych przez obie cięciwy
- AD = 172 - 60 = 112°
- Krok 3. Łuk BA
- BD to średnica - łuki AD i BA tworzą półokrąg po stronie A
- BA + AD = 180°
- od punktu B do punktu D przez A jest dokładnie pół okręgu, czyli 180°
- BA = 180 - 112 = 68°
- Krok 4. Kąt wpisany BDA
- ∠ BDA opiera się na łuku BA, więc jest jego połową
- ∠ BDA = 1 2 · BA = 1 2 · 68
- kąt wpisany jest równy połowie łuku, na którym się opiera
- ∠ BDA = 34°
Najczęstsza pomyłka: potraktowanie kąta AKD = 86° jak kąta wpisanego (czyli wzięcie samego 30° albo 86°). To kąt między cięciwami - liczy się jako połowa SUMY obu łuków (AD i BC), nie jednego.