Kąt KDL w czworokącie wpisanym w okrąg
Odcinek CD jest wysokością trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Prosta p jest prostopadła do boku BC i przecina ten bok w punkcie L. Ta prosta przecina wysokość CD w punkcie K oraz przecina bok AC w punkcie różnym od A. Dane są miary kątów |∠ BAC| = 70° oraz |∠ KBD| = 35°. Wykaż, że na czworokącie KDBL można opisać okrąg, i oblicz miarę kąta ∠ KDL.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: kąty proste dają okrąg, kąty wpisane dają wynik
- Cały dowód opiera się na jednym pomyśle: dwa kąty proste przy przeciwległych wierzchołkach gwarantują okrąg opisany, a okrąg pozwala przenieść kąt z wierzchołka B (łatwy do policzenia) do wierzchołka D (szukany).
- Krok 1. Dane
- CD - wysokość, więc CD AB; prosta p prostopadła do BC w punkcie L.
- |∠ BAC| = 70°, |∠ KBD| = 35°, |∠ KDB| = |∠ KLB| = 90°
- Krok 2. Okrąg opisany na KDBL
- Na czworokącie można opisać okrąg, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe 180°.
- |∠ KDB| + |∠ KLB| = 90° + 90°
- D i L to przeciwległe wierzchołki czworokąta KDBL, a przy każdym z nich kąt prosty - z prostopadłości CD AB i p BC
- |∠ KDB| + |∠ KLB| = 180°
- Krok 3. Kąt ∠ KBL
- W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
- |∠ DBC| = |∠ BAC| = 70°
- punkt D leży na podstawie AB, więc ∠ DBC to po prostu kąt przy wierzchołku B, równy kątowi przy A
- |∠ KBL| = |∠ DBC| - |∠ KBD| = 70° - 35°
- półprosta BK leży wewnątrz kąta ∠ DBC i rozcina go na ∠ KBD oraz ∠ KBL
- |∠ KBL| = 35°
- Krok 4. Kąt ∠ KDL
- Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
- |∠ KDL| = |∠ KBL|
- D i B leżą na okręgu opisanym na KDBL po tej samej stronie cięciwy KL, więc oba kąty są wpisane i oparte na tym samym łuku
- |∠ KDL| = 35°
Uznanie, że |∠ KDL| = 180° - |∠ KBL| = 145° - tak działałoby dla kątów przy PRZECIWLEGŁYCH wierzchołkach czworokąta wpisanego w okrąg (D i B przeciwległe są w KDBL, ale kąty ∠ KDL i ∠ KBL NIE są kątami wewnętrznymi tego czworokąta). Tu oba kąty opierają się na tej samej cięciwie KL z tej samej strony, więc są równe.
Warunek opisywalności okręgu można też uzasadnić inaczej: punkty D i L widzą odcinek KB pod kątem prostym, więc oba leżą na okręgu o średnicy KB (twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy).