Pole trapezu prostokątnego z kątem 45° (E8)
Dany jest trapez prostokątny ABCD, którego długość boku BC jest równa 6 cm, a kąt DAB ma miarę 45° (zobacz rysunek). Długość boku AB jest cztery razy większa od długości boku CD. Oblicz pole trapezu ABCD.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: pole trapezu z kątem 45°
- Krok 1. Dane
- BC prostopadły do podstaw, więc BC jest wysokością trapezu
- BC = 6,cm, ∠ DAB = 45°, AB = 4· CD
- Krok 2. Rzut boku ukośnego
- spuszczamy wysokość DE z D na AB
- ADE: ∠ E = 90°, ∠ A = 45°
- trójkąt ADE ma kąt prosty przy E i kąt 45° przy A, więc trzeci kąt też ma 45°
- AE = DE = BC = 6
- trójkąt prostokątny równoramienny: rzut AE równy wysokości BC
- Krok 3. Podstawy CD i AB
- AB = CD + AE = CD + 6
- AB to suma odcinka EB (równego górnej podstawie CD) i rzutu AE
- 4· CD = CD + 6
- podstawiamy warunek: AB jest cztery razy większe od CD
- CD = 2
- z równania wyznaczamy krótszą podstawę CD
- AB = 4· 2 = 8
- Krok 4. Pole trapezu
- P = AB + CD 2 · BC
- pole trapezu = półsuma podstaw razy wysokość
- P = 8 + 2 2 · 6
- P = 10 2 · 6
- P = 30,cm^2
Kąt 45° jest kluczem: daje trójkąt prostokątny równoramienny, w którym rzut boku ukośnego równa się wysokości (AE = BC). Dzięki temu nie potrzeba trygonometrii.