Wyznacz stosunek pól trójkątów
Dany jest prostokąt ABCD, w którym |AB| = k · |AD| dla pewnej liczby k > 0. Na bokach AB, BC, CD oraz DA tego prostokąta obrano punkty, odpowiednio, K, L, M oraz N (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta ABCD). Czworokąt KLMN jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość LM tego trapezu jest równoległa do przekątnej BD prostokąta. Wiadomo, że stosunek |DN| do |DM| jest równy 2. Wyznacz k.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: łańcuch podobnych trójkątów
- Dane
- KL LM, MN LM oraz LM BD
- |AB|/|AD| = k
- Łańcuch podobnych trójkątów prostokątnych
- wszystkie odcinki wyrażamy przez |BK|
- |BK|
- KL BD, więc trójkąt KBL jest podobny do trójkąta DAB, a stąd |BL|: |BK| = |AB|: |AD|.
- |BL| = k · |BK|
- LM BD, więc z twierdzenia Talesa |DM|: |BL| = |AB|: |AD|.
- |DM| = k^2 · |BK|
- MN BD, więc trójkąt MDN również jest podobny do trójkąta DAB.
- |DN| = k^3 · |BK|
- Stosunek przyprostokątnych
- sąsiednie ogniwa łańcucha różnią się mnożnikiem k
- |DN|/|DM| = k
- Wyznaczenie k
- k = 2
- z warunku k > 0 równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie
- k = 2
Wszystkie odcinki wyraziły się przez |BK|, który skraca się w stosunku. Teza zachodzi więc dla dowolnego położenia punktów na bokach prostokąta.