Wyznacz stosunek podstaw
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt E leży na ramieniu AD tak, że |AE|: |ED| = 3: 2, a punkt F leży na ramieniu BC tak, że |BF|: |FC| = 3: 2. Stosunek |AB| do |CD| jest równy 5. Ponadto pole trapezu ABCD jest równe 150. Wykaż, że pole trapezu EFCD jest równe 36.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: pola przez podstawy i wysokość
- Wysokość h skraca się w stosunku pól, więc wynik nie zależy od tego, jak wysoki jest trapez.
- Krok 1. Rysunek i dana
- |AB| / |CD| = 5
- Krok 2. Długość odcinka EF
- szerokość trapezu zmienia się jednostajnie od |AB| do |CD|, a punkt E odcina 3 z 5 części ramienia AD
- |EF| = |AB| + #E53A3A 3 / 5 (|CD| - |AB|)
- porządkujemy wyrażenie względem obu podstaw
- |EF| = 2|AB| + 3|CD|/5
- Krok 3. Pole ABFE
- część ABFE zajmuje 3 z 5 części wysokości h
- P_ ABFE = |AB| + |EF|/2 · #E53A3A 3 / 5 h
- wstawiamy wzór z kroku 2 i porządkujemy wyrażenie
- P_ ABFE = h(21|AB| + 9|CD|)/50
- Krok 3. Pole EFCD
- na część EFCD zostaje pozostałe 2 z 5 części wysokości h
- P_ EFCD = |EF| + |CD|/2 · #E53A3A 2 / 5 h
- wstawiamy ten sam wzór z kroku 2 i porządkujemy wyrażenie
- P_ EFCD = h(2|AB| + 8|CD|)/25
- Krok 4. Podstawienie danego stosunku podstaw
- dana wyznacza obie podstawy z dokładnością do wspólnej skali k
- |AB| = 5k, |CD| = k
- oba pola sprowadzamy do wspólnego mianownika 50, więc różnią się już tylko licznikiem
- P_ ABFE = 114hk/ 50, P_ EFCD = 36hk/ 50
- odcinek EF dzieli trapez na dwie części, więc ich pola sumują się do pola całości
- P_ ABCD = P_ ABFE + P_ EFCD = 150hk/ 50
- wspólny czynnik znika, gdy porównujemy pola między sobą
- P_ ABFE: P_ EFCD: P_ ABCD = 114: 36: 150
- Krok 5. Teza
- proporcja z kroku 4 wiąże szukaną wielkość z tą podaną liczbowo w treści
- P_ EFCD P_ ABCD = 36 / 150 = 6/25
- mnożymy stronami przez podaną w treści wartość
- P_ EFCD = 6/25 · 150 = 36
Odcinek EF dzieli wysokość trapezu w stosunku 3 : 2, ale pól NIE dzieli w tym samym stosunku: każda z części ma inną parę podstaw.