Wyznacz stosunek pól trójkątów

Dany jest prostokąt ABCD , w którym |AB| = k |AD| dla pewnej liczby k > 0 . Na bokach AB , BC , CD oraz DA tego prostokąta obrano punkty, odpowiednio, K , L , M oraz N (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta ABCD ). Czworokąt KLMN jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość LM tego trapezu jest równoległa do przekątnej BD prostokąta. Wiadomo, że stosunek |DN| do |DM| jest równy 2 . Wyznacz k .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: łańcuch podobnych trójkątów

  1. Dane
  2. KL LM , MN LM oraz LM BD
  3. |AB| |AD| = k
  4. Łańcuch podobnych trójkątów prostokątnych
  5. wszystkie odcinki wyrażamy przez |BK|
  6. |BK|
  7. KL BD , więc trójkąt KBL jest podobny do trójkąta DAB , a stąd |BL| : |BK| = |AB| : |AD| .
  8. |BL| = k |BK|
  9. LM BD , więc z twierdzenia Talesa |DM| : |BL| = |AB| : |AD| .
  10. |DM| = k^2 |BK|
  11. MN BD , więc trójkąt MDN również jest podobny do trójkąta DAB .
  12. |DN| = k^3 |BK|
  13. Stosunek przyprostokątnych
  14. sąsiednie ogniwa łańcucha różnią się mnożnikiem k
  15. |DN| |DM| = k
  16. Wyznaczenie k
  17. k = 2
  18. z warunku k > 0 równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie
  19. k = 2

Wszystkie odcinki wyraziły się przez |BK| , który skraca się w stosunku. Teza zachodzi więc dla dowolnego położenia punktów na bokach prostokąta.