Oblicz promień okręgu opisanego
Na czworokącie wypukłym ABCD o bokach długości: |AB| = 11, |BC| = 24, |CD| = 35 oraz |DA| = 24, opisano okrąg. Oblicz średnicę tego okręgu.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: dwa razy twierdzenie cosinusów
- Przekątna BD jest wspólnym bokiem obu trójkątów, dlatego oba zapisy jej kwadratu można przyrównać i wyznaczyć z nich cosinus.
- Przekątna BD dzieli czworokąt
- kąty przy wierzchołkach C i A leżą naprzeciw siebie
- ∠ C + ∠ A = 180°
- Trójkąt z kątem α
- wierzchołek C
- |BD|^2 = 24^2 + 35^2 - 2· 24· 35· α
- twierdzenie cosinusów dla boków wychodzących z wierzchołka C
- |BD|^2 = 576 + 1225 - 1680 α
- Trójkąt z kątem 180°-α
- wierzchołek A
- |BD|^2 = 11^2 + 24^2 - 2· 11· 24· (180°-α)
- cosinus kąta przyległego ma przeciwny znak, więc minus zmienia się w plus
- |BD|^2 = 121 + 576 + 528 α
- Cosinus kąta α
- 576 + 1225 - 1680 α = 121 + 576 + 528 α
- wyrazy z cosinusem przechodzą na prawą stronę, same liczby na lewą
- 1104 = 2208 α
- dzielimy obie strony przez współczynnik stojący przy cosinusie
- α = 1104 / 2208 = 1/2
- Długość przekątnej BD
- |BD|^2 = 576 + 1225 - 1680· #E53A3A 1/2
- wracamy do trójkąta z kątem α i wstawiamy wyznaczony cosinus
- |BD|^2 = 961
- długość odcinka jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny
- |BD| = 31
- Sinus kąta α
- α = √(1 - ^2α)
- kąt czworokąta wypukłego ma dodatni sinus, więc przed pierwiastkiem stoi plus
- α = √(1 - ≤ft(1/2)^2) = √(3)/2
- Twierdzenie sinusów
- |BD|/ α = 2R
- przekątna jest bokiem trójkąta wpisanego w ten sam okrąg, a naprzeciw niej leży kąt α
- 2R = 31 / √(3)/2 = 62√(3)/3
- promień to połowa średnicy
- R = 31√(3)/3
- Odpowiedź
- 2R = 62√(3)/3
Najczęstsza pomyłka: przepisanie tego samego znaku w obu trójkątach. Przy wierzchołku A kąt wynosi 180°-α, więc jego cosinus jest przeciwny i przed podwojonym iloczynem boków stoi plus, nie minus.