Wyznacz stosunek podstaw

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt E leży na ramieniu AD tak, że |AE| : |ED| = 3 : 2 , a punkt F leży na ramieniu BC tak, że |BF| : |FC| = 3 : 2 . Stosunek |AB| do |CD| jest równy 5 . Ponadto pole trapezu ABCD jest równe 150 . Wykaż, że pole trapezu EFCD jest równe 36 .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: pola przez podstawy i wysokość

  1. Wysokość h skraca się w stosunku pól, więc wynik nie zależy od tego, jak wysoki jest trapez.
  2. Krok 1. Rysunek i dana
  3. |AB| |CD| = 5
  4. Krok 2. Długość odcinka EF
  5. szerokość trapezu zmienia się jednostajnie od |AB| do |CD| , a punkt E odcina 3 z 5 części ramienia AD
  6. |EF| = |AB| + #E53A3A 3 5 (|CD| - |AB| )
  7. porządkujemy wyrażenie względem obu podstaw
  8. |EF| = 2|AB| + 3|CD| 5
  9. Krok 3. Pole ABFE
  10. część ABFE zajmuje 3 z 5 części wysokości h
  11. P_ ABFE = |AB| + |EF| 2 #E53A3A 3 5 h
  12. wstawiamy wzór z kroku 2 i porządkujemy wyrażenie
  13. P_ ABFE = h(21|AB| + 9|CD|) 50
  14. Krok 3. Pole EFCD
  15. na część EFCD zostaje pozostałe 2 z 5 części wysokości h
  16. P_ EFCD = |EF| + |CD| 2 #E53A3A 2 5 h
  17. wstawiamy ten sam wzór z kroku 2 i porządkujemy wyrażenie
  18. P_ EFCD = h(2|AB| + 8|CD|) 25
  19. Krok 4. Podstawienie danego stosunku podstaw
  20. dana wyznacza obie podstawy z dokładnością do wspólnej skali k
  21. |AB| = 5k, |CD| = k
  22. oba pola sprowadzamy do wspólnego mianownika 50 , więc różnią się już tylko licznikiem
  23. P_ ABFE = 114hk 50 , P_ EFCD = 36hk 50
  24. odcinek EF dzieli trapez na dwie części, więc ich pola sumują się do pola całości
  25. P_ ABCD = P_ ABFE + P_ EFCD = 150hk 50
  26. wspólny czynnik znika, gdy porównujemy pola między sobą
  27. P_ ABFE : P_ EFCD : P_ ABCD = 114 : 36 : 150
  28. Krok 5. Teza
  29. proporcja z kroku 4 wiąże szukaną wielkość z tą podaną liczbowo w treści
  30. P_ EFCD P_ ABCD = 36 150 = 6 25
  31. mnożymy stronami przez podaną w treści wartość
  32. P_ EFCD = 6 25 150 = 36

Odcinek EF dzieli wysokość trapezu w stosunku 3 : 2, ale pól NIE dzieli w tym samym stosunku: każda z części ma inną parę podstaw.