Obwód czworokąta wpisanego w okrąg
Pole czworokąta ABCD wpisanego w okrąg jest równe 405. Boki AB i BC są prostopadłe, a ponadto |AB| = 39 oraz |BC| = 3. Oblicz obwód tego czworokąta oraz promień okręgu opisanego na tym czworokącie.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: twierdzenie Talesa i wzory skróconego mnożenia
- Krok 1. Dane
- P_ ABCD = 405, |AB| = 39, |BC| = 3, AB BC
- Krok 2. Przekątna AC
- kąt ABC = 90°, więc AC to średnica (tw. Talesa) i kąt ADC = 90°
- |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
- twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABC
- |AC|^2 = 1521 + 9 = 1530
- długość odcinka jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny
- |AC| = 3√(170)
- Krok 3. Pole trójkąta ACD
- P_ ACD = P_ ABCD - P_ ABC
- przekątna AC dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a ABC jest prostokątny
- P_ ACD = 405 - 58.5 = 346.5
- Krok 4. Suma |CD| + |DA|
- oznacz x = |CD|, y = |DA|; trójkąt ACD jest prostokątny w D
- x^2 + y^2 = |AC|^2 = 1530 i x · y = 2 P_ ACD = 693
- wzór skróconego mnożenia łączy oba równania układu
- (x+y)^2 = 1530 + 2 · 693 = 2916
- suma długości boków jest dodatnia
- x + y = 54
- Krok 5. Obwód i promień
- L = 39 + 3 + 54 = 96
- AC to średnica okręgu opisanego, więc promień jest jej połową
- L = 96, R = 3√(170)/2
Najczęstsza pomyłka: pisanie (x+y)^2 = x^2 + y^2 bez składnika 2xy - wtedy suma boków wychodzi równa |AC|, co jest niemożliwe (łamana CDA jest dłuższa od cięciwy CA).