Oblicz promień okręgu opisanego

Na czworokącie wypukłym ABCD o bokach długości: |AB| = 11 , |BC| = 24 , |CD| = 35 oraz |DA| = 24 , opisano okrąg. Oblicz średnicę tego okręgu.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: dwa razy twierdzenie cosinusów

Przekątna BD jest wspólnym bokiem obu trójkątów, dlatego oba zapisy jej kwadratu można przyrównać i wyznaczyć z nich cosinus.
Przekątna BD dzieli czworokąt
kąty przy wierzchołkach C i A leżą naprzeciw siebie
C + A = 180^
Trójkąt z kątem
wierzchołek C
|BD|^2 = 24^2 + 35^2 - 2 24 35
twierdzenie cosinusów dla boków wychodzących z wierzchołka C
|BD|^2 = 576 + 1225 - 1680
Trójkąt z kątem 180^ -
wierzchołek A
|BD|^2 = 11^2 + 24^2 - 2 11 24 (180^ - )
cosinus kąta przyległego ma przeciwny znak, więc minus zmienia się w plus
|BD|^2 = 121 + 576 + 528
Cosinus kąta
576 + 1225 - 1680 = 121 + 576 + 528
wyrazy z cosinusem przechodzą na prawą stronę, same liczby na lewą
1104 = 2208
dzielimy obie strony przez współczynnik stojący przy cosinusie
= 1104 2208 = 1 2
Długość przekątnej BD
|BD|^2 = 576 + 1225 - 1680 #E53A3A 1 2
wracamy do trójkąta z kątem i wstawiamy wyznaczony cosinus
|BD|^2 = 961
długość odcinka jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny
|BD| = 31
Sinus kąta
= 1 - ^2
kąt czworokąta wypukłego ma dodatni sinus, więc przed pierwiastkiem stoi plus
= 1 - ( 1 2 )^2 = 3 2
Twierdzenie sinusów
|BD| = 2R
przekątna jest bokiem trójkąta wpisanego w ten sam okrąg, a naprzeciw niej leży kąt
2R = 31 3 2 = 62 3 3
promień to połowa średnicy
R = 31 3 3
Odpowiedź
2R = 62 3 3

Najczęstsza pomyłka: przepisanie tego samego znaku w obu trójkątach. Przy wierzchołku A kąt wynosi 180^ - , więc jego cosinus jest przeciwny i przed podwojonym iloczynem boków stoi plus, nie minus.