Obwód czworokąta wpisanego w okrąg

Pole czworokąta ABCD wpisanego w okrąg jest równe 192 . Boki AB i BC są prostopadłe, a ponadto |AB| = 14 oraz |BC| = 18 . Oblicz obwód tego czworokąta oraz promień okręgu opisanego na tym czworokącie.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: twierdzenie Talesa i wzory skróconego mnożenia

  1. Krok 1. Dane
  2. P_ ABCD = 192, |AB| = 14, |BC| = 18, AB BC
  3. Krok 2. Przekątna AC
  4. kąt ABC = 90^ , więc AC to średnica (tw. Talesa) i kąt ADC = 90^
  5. |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2
  6. twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABC
  7. |AC|^2 = 196 + 324 = 520
  8. długość odcinka jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny
  9. |AC| = 2 130
  10. Krok 3. Pole trójkąta ACD
  11. P_ ACD = P_ ABCD - P_ ABC
  12. przekątna AC dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a ABC jest prostokątny
  13. P_ ACD = 192 - 126 = 66
  14. Krok 4. Suma |CD| + |DA|
  15. oznacz x = |CD| , y = |DA| ; trójkąt ACD jest prostokątny w D
  16. x^2 + y^2 = |AC|^2 = 520 i x y = 2 P_ ACD = 132
  17. wzór skróconego mnożenia łączy oba równania układu
  18. (x+y)^2 = 520 + 2 132 = 784
  19. suma długości boków jest dodatnia
  20. x + y = 28
  21. Krok 5. Obwód i promień
  22. L = 14 + 18 + 28 = 60
  23. AC to średnica okręgu opisanego, więc promień jest jej połową
  24. L = 60, R = 130

Najczęstsza pomyłka: pisanie (x+y)^2 = x^2 + y^2 bez składnika 2xy - wtedy suma boków wychodzi równa |AC| , co jest niemożliwe (łamana CDA jest dłuższa od cięciwy CA ).