Oblicz pole trapezu z przekątnej
W trapezie prostokątnym EFGH ramię FG ma długość 4. Krótsza przekątna EG ma długość równą 3 i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek). Oblicz pole trapezu EFGH.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Podobieństwo trójkątów z rozcięcia przekątną
- Ten sam rachunek działa dla każdego trapezu prostokątnego, w którym krótsza przekątna tworzy kąt prosty z ramieniem ukośnym.
- Dane
- przekątna EG tnie trapez na trójkąty EFG i EGH
- |EG| = 3, |FG| = 4
- Trzeci bok trójkąta EFG
- |EF|^2 = |EG|^2 + |FG|^2
- W trójkącie EFG kąt prosty leży przy wierzchołku G, więc przeciwprostokątną jest podstawa EF.
- |EF|^2 = 9 + 16 = 25
- Pierwiastkujemy obie strony, bo długość boku jest dodatnia.
- |EF| = 5
- Wysokość EH
- |EH|/|FG| = |EG|/|EF|
- Trójkąty EGH i FGE są prostokątne, a kąt HGE równa się kątowi GEF, bo podstawy trapezu są równoległe. Podobne trójkąty mają proporcjonalne boki.
- |EH| = |EG| · |FG|/|EF| = 12 / 5
- Podstawiamy trzy znane długości.
- |EH| = 2, 4
- Krótsza podstawa HG
- |HG|/|EG| = |EG|/|EF|
- W tej samej parze podobnych trójkątów bokowi HG odpowiada EG, a bokowi EG odpowiada EF.
- |HG| = |EG|^2/|EF| = 9 / 5
- Przekątna występuje w liczniku dwa razy, więc podnosimy ją do kwadratu.
- |HG| = 1, 8
- Pole trapezu EFGH
- P = (|EF| + |HG|) · |EH|/2
- Suma podstaw razy wysokość, podzielona przez dwa.
- P = (5 + 1, 8) · 2, 4 2 = 16, 32 2
- Zostaje podzielić iloczyn przez dwa.
- P = 8, 16
Przekątna EG nie jest wysokością trapezu. Wysokość to ramię EH prostopadłe do obu podstaw, dlatego w rachunku występuje 2, 4, a nie 3.