Równoległobok, przecięcie przekątnych (proof)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD, w którym D = (5, 5). Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y = 2/3x - 3, a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y = 3x - 10. Punkt K = (9, 3) jest środkiem odcinka AB. Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: A → B → S
- Dane zadania
- AB: y = 2/3x - 3 AD: y = 3x - 10
- D = (5, 5), K = (9, 3) (środek AB)
- Krok 1. Wierzchołek A
- przecięcie prostych AB i AD
- 2/3x - 3 = 3x - 10
- punkt A leży na obu prostych, więc przyrównujemy ich prawe strony
- x = 3;→; y = -1
- wyznaczony x wstawiamy do równania prostej AB i liczymy y
- A = (3, -1)
- Krok 2. Wierzchołek B
- K jest środkiem AB
- B = 2K - A
- ze wzoru na środek odcinka K = A+B/2 wynika B = 2K - A
- B = 2 · (9, 3) - (3, -1)
- podwajamy współrzędne K i odejmujemy współrzędne A
- B = (15, 7)
- Krok 3. Punkt S
- środek przekątnej BD
- S = ≤ft( x_B + x_D 2, y_B + y_D 2)
- przekątne równoległoboku połowią się, więc S jest środkiem przekątnej BD
- S = ≤ft( 15 + 5 2, 7 + 5 2)
- sumujemy współrzędne końców przekątnej i dzielimy przez 2
- S = (10, 6)
Najczęstsza pomyłka: przyjęcie, że S to środek boku AB, czyli punkt K. S jest środkiem przekątnej BD (i AC), a nie boku.
Sprawdzenie: S jest również środkiem przekątnej AC. Wyznaczając C = B + D - A i licząc środek AC, otrzymamy ten sam punkt.