Kwadrat ze środkiem przekątnych
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest kwadrat ABCD, w którym D = (14, -12). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S = (2, -3). Długość przekątnej kwadratu ABCD jest równa
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: odległość punktów DS
- Kluczowa obserwacja: S jest środkiem przekątnych, więc |AS| to dokładnie pół przekątnej. Dla pola wystarczy |AS|^2 (bez pierwiastka), dla pozostałych wielkości potrzebny pełny rachunek |AS|, a dla wierzchołka przeciwległego - wzór na środek odcinka odwrócony do C = 2S - A.
- Krok 1. Dane i obserwacja
- S to środek przekątnych, więc |AS| to połowa przekątnej.
- D = (14, -12), S = (2, -3)
- Krok 2. |AS| ze wzoru na odległość punktów
- Dla punktów P_1 = (x_1, y_1) i P_2 = (x_2, y_2): |P_1 P_2| = √((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2).
- |AS| = √((x_A - x_S)^2 + (y_A - y_S)^2)
- wzór na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych
- |AS| = √((14 - 2)^2 + ((-12) - (-3))^2)
- podstawiamy współrzędne D i S
- |AS| = √( 12^2 + (-9)^2)
- kwadrat liczby ujemnej jest dodatni
- |AS| = √( 144 + 81) = √(225)
- suma pod pierwiastkiem to kwadrat liczby całkowitej
- |AS| = 15
- Krok 3. Przekątna = 2 · |AS|
- Przekątna kwadratu to dwie połowy: od A do S i od S do wierzchołka przeciwległego.
- d = 2 · |AS| = 2 · 15
- podwajamy długość |AS|
- d = 30
Najczęstsza pomyłka: pominięcie nawiasów przy podstawianiu do wzoru, np. (14 - 2)^2 zapisane jako 14 - 2^2. Wtedy potęga zadziała tylko na drugą liczbę i wynik będzie błędny. Druga pułapka: pomylenie połowy przekątnej z bokiem. |AS| to pół przekątnej, a bok kwadratu to |AS|√(2), nie |AS|.
S jest środkiem przekątnych w każdym równoległoboku, ale tylko w kwadracie (i prostokącie) zachodzi |AS| = |BS| = |CS| = |DS|, bo przekątne są równej długości.