Wyznacz okrąg styczny do boków
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach B = (-2, 1) i C = (-1, 5) oraz środku symetrii M = ≤ft(1/2, 5/2). Okrąg O przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Pierwsza współrzędna środka okręgu O jest liczbą dodatnią. Wyznacz równanie okręgu O.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: dwusieczna kąta i warunek przejścia przez początek układu
- Dane
- B = (-2, 1), C = (-1, 5), M = ≤ft( #DFC173 1/2, #DFC173 5/2)
- Brakujące wierzchołki
- M = ≤ft(1/2, 5/2)
- środek symetrii jest środkiem obu przekątnych, więc suma wierzchołków przeciwległych równa się podwojonemu M
- 2M = (1, 5)
- wierzchołek przeciwległy do danego jest jego obrazem w symetrii środkowej o środku M
- D = (3, 4)
- drugi brakujący wierzchołek wyznaczamy tak samo, odejmując od podwojonego M drugi z danych wierzchołków
- A = (2, 0)
- Prosta AB
- A = (2, 0),; B = (-2, 1)
- dwa wierzchołki boku wyznaczają jego wektor kierunkowy
- AB = (-4, 1)
- wektor normalny prostej jest prostopadły do jej wektora kierunkowego, bierzemy go po skróceniu przez wspólny dzielnik
- n_1 = (1, 4)
- prosta o zadanym wektorze normalnym przechodząca przez wierzchołek A
- x + 4y - 2 = 0
- Prosta BC
- B = (-2, 1),; C = (-1, 5)
- tak samo postępujemy z bokiem sąsiednim
- BC = (1, 4)
- wektor normalny drugiej prostej jest prostopadły do jej wektora kierunkowego
- n_2 = (4, -1)
- prosta o zadanym wektorze normalnym przechodząca przez wierzchołek B
- 4x - y + 9 = 0
- Równe odległości od obu prostych
- d(S, AB) = d(S, BC) = r
- ≤ft|x + 4y - 2 |/√(17) = ≤ft|4x - y + 9 |/√(17)
- okrąg jest styczny do obu prostych, więc jego środek jest od nich równo oddalony, a oba wektory normalne mają tę samą długość, więc mianowniki się skracają
- ≤ft|x + 4y - 2 | = ≤ft|4x - y + 9 |
- drugi przypadek znaku odpowiada dwusiecznej kąta zewnętrznego i prowadzi do równania bez rozwiązań, więc zostaje ten
- x + 4y - 2 = -≤ft(4x - y + 9)
- porządkujemy równanie i skracamy przez wspólny dzielnik
- 5x + 3y + 7 = 0
- Przejście przez początek układu
- |SO| = r
- x^2 + y^2 = ≤ft(x + 4y - 2)^2/ 17
- kwadrat odległości środka od początku układu równa się kwadratowi promienia, czyli kwadratowi odległości środka od prostej AB
- 17x^2 + 2x - 19 = 0
- po podstawieniu i uporządkowaniu zostaje równanie kwadratowe z jedną niewiadomą
- x = 1 lub x = -19/17
- Wybór okręgu i wynik
- S = (1, -4) lub S = ≤ft(-19/17, -8/17)
- obie wartości x po wstawieniu do równania dwusiecznej dają środki dwóch okręgów spełniających warunki styczności, wybieramy ten wskazany w treści zadania
- (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 17