Okrąg w układzie współrzędnych: P/F (punkt, równanie, własności)

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Ze środka i promienia wyprowadź równanie oraz wszystkie miary okręgu

  1. Ze środka S=(-5, 3) i promienia r=20 wynikają wszystkie pozostałe wielkości: r^2=400 w równaniu, średnica 40 , pole 400 , obwód 40 oraz cztery punkty skrajne odległe o r od środka. Położenie dowolnego punktu ustala porównanie jego odległości od S z promieniem.
  2. Krok 1. Środek i promień
  3. dane wprost w treści
  4. S = ( -5, 3 ), r = 20
  5. kwadrat promienia stoi po prawej stronie równania okręgu, a podwojony promień to średnica
  6. r^2 = 400 , 2r = 40
  7. Krok 2a. Równanie okręgu
  8. postać kanoniczna i ogólna
  9. (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
  10. w miejsce a i b wchodzą współrzędne środka, a po prawej stronie kwadrat promienia
  11. (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 400
  12. po rozwinięciu obu kwadratów i przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę zostaje postać ogólna
  13. x^2 + y^2 + 10x - 6y - 366 = 0
  14. Krok 2b. Położenie punktu A
  15. A = (7, -13)
  16. |SA|^2 = (7 + 5)^2 + (-13 - 3)^2
  17. kwadrat odległości dwóch punktów to suma kwadratów różnic ich współrzędnych
  18. |SA|^2 = 12 ^2 + (-16) ^2
  19. kwadrat usuwa znak, więc kierunek przesunięcia od środka nie ma znaczenia
  20. |SA|^2 = 144 + 256 = 400
  21. pierwiastkujemy, bo porównujemy odległość z promieniem, a nie jej kwadrat
  22. |SA| = 400 = 20 = r ; ; A O
  23. Krok 3. Miary okręgu
  24. P = r^2 = 400 , L = 2 r = 40
  25. pole koła liczymy z kwadratu promienia, a obwód okręgu z promienia podwojonego
  26. (-5, 23), ; (-5, -17)
  27. najwyższy i najniższy punkt powstają przez odłożenie promienia w pionie od środka
  28. (-25, 3), ; (15, 3)
  29. skrajny lewy i prawy punkt to końce średnicy poziomej, a proste x=-25 i x=15 są styczne do okręgu
  30. S = (-5, 3) ; ; ćwiartka II
  31. Krok 4. Werdykty
  32. |3| ;
  33. styczność do osi zachodzi dokładnie wtedy, gdy odległość środka od niej równa jest promieniowi
  34. |-5| ;
  35. odległość środka od osi OY to wartość bezwzględna jego odciętej
  36. (-5)^2 + 3^2 = 34 ;
  37. początek układu leży na okręgu tylko przy równości kwadratu odległości od środka i kwadratu promienia
  38. B = (2 (-5) - 7, ; 2 3 - (-13)) = (-17, 19)
  39. w symetrii względem środka punkt S jest środkiem odcinka AB
  40. |SP| = 1 < 20, |SQ| = 21 > 20 ; ; P wewnątrz, ; Q na zewnątrz

Najczęstsze pomyłki: (1) wpisanie r zamiast r^2 po prawej stronie równania kanonicznego; (2) mylenie promienia ze średnicą i wzoru na pole ze wzorem na obwód; (3) zapisanie środka bez zmiany znaku, czyli (x + a)^2 zamiast (x - a)^2 dla dodatniego a .

Przy przechodzeniu do postaci ogólnej wyraz wolny to F = a^2 + b^2 - r^2 , a więc r^2 wchodzi ze znakiem minus. Zapis z +r^2 opisuje inny okrąg albo zbiór pusty.