Okrąg o środku w punkcie podziału

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (6, 1) oraz B = (0, 3) są wierzchołkami trójkąta ABC , w którym |CA| = |CB| . Ramię CA tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu x - 2y - 4 = 0 . Na boku AC obrano taki punkt M , że |AM| : |MC| = 1 : 2 . Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie M i przechodzi przez punkt C .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: symetralna, podział odcinka, równanie okręgu

  1. Cała konstrukcja opiera się na jednej obserwacji: |CA| = |CB| osadza C na symetralnej AB , więc C jest przecięciem tej symetralnej z daną prostą ramienia. Środek okręgu M to punkt podziału AC , a promień r = |MC| stanowi 2 3 długości CA .
  2. Krok 1. Dane i obserwacja
  3. |CA| = |CB| , więc C leży na symetralnej odcinka AB .
  4. A = (6, 1), B = (0, 3)
  5. Dane prostej i podziału
  6. ramię CA: x - 2y - 4 = 0 |AM| : |MC| = 1 : 2
  7. Krok 2. Środek odcinka AB
  8. Symetralna przechodzi przez środek S odcinka AB : S = ( x_A + x_B 2 , y_A + y_B 2 ) .
  9. S = ( 6 + 0 2 , 1 + 3 2 )
  10. sumujemy współrzędne A i B w liczniku
  11. S = ( 6 2 , 4 2 )
  12. dzielimy każdą sumę przez dwa
  13. S = (3, 2)
  14. Krok 3. Wierzchołek C
  15. C to punkt wspólny prostej ramienia CA i symetralnej AB (prostej prostopadłej do AB przez S ).
  16. symetralna AB: 3x - y - 7 = 0
  17. kierunek AB jest wektorem normalnym symetralnej, która przechodzi przez S
  18. cases x - 2y - 4 = 0 3x - y - 7 = 0 cases
  19. C spełnia oba równania - rozwiązujemy układ dwóch prostych
  20. C = (2, -1)
  21. Krok 4. Środek okręgu M
  22. M dzieli AC w stosunku |AM| : |MC| = 1 : 2 od A : M = 2 A + 1 C 1 + 2 .
  23. M = 2 (6, 1) + 1 (2, -1) 3
  24. waga n = 2 przy A , waga m = 1 przy C - większa waga po stronie dalszego końca
  25. M = ( 14 3 , 1 3 )
  26. upraszczamy każdą współrzędną
  27. M = ( 14 3 , 1 3 )
  28. Krok 5. Promień i równanie okręgu
  29. Promień r = |MC| = 2 3 |CA| , bo |MC| to 2 3 długości CA . Wygodniej liczyć r^2 .
  30. |CA|^2 = 4^2 + 2^2 = 20
  31. kwadrat odległości A i C ze wzoru na odległość punktów
  32. r^2 = ( 2 3 )^2 20 = 80 9
  33. kwadrat stosunku razy kwadrat długości ramienia
  34. (x - 14 3 )^2 + (y - 1 3 )^2 = 80 9

Najczęstsza pomyłka to odwrócenie wag przy podziale odcinka. Dla |AM| : |MC| = 1 : 2 punkt M jest bliżej A , więc M = 2 A + 1 C 1+2 - większą wagę ma wierzchołek C (dalszy koniec). Zamiana wag daje inny punkt. Druga pułapka: mylenie r z r^2 . Po prawej stronie równania okręgu stoi r^2 = 80 9 , a nie r ani r^2 .

Wierzchołek C można też wyznaczyć bez symetralnej - podstawiając ogólny punkt prostej ramienia do warunku |CA| = |CB| . Metoda z symetralną jest jednak krótsza, bo od razu daje drugie równanie liniowe zamiast równania z kwadratami.