Okrąg o środku w punkcie podziału
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (-2, -4) oraz B = (-6, 8) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym |CA| = |CB|. Ramię CA tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 7x - y + 10 = 0. Na boku AC obrano taki punkt M, że |AM|: |MC| = 1: 2. Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie M i przechodzi przez punkt C.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: symetralna, podział odcinka, równanie okręgu
- Cała konstrukcja opiera się na jednej obserwacji: |CA| = |CB| osadza C na symetralnej AB, więc C jest przecięciem tej symetralnej z daną prostą ramienia. Środek okręgu M to punkt podziału AC, a promień r = |MC| stanowi 2 / 3 długości CA.
- Krok 1. Dane i obserwacja
- |CA| = |CB|, więc C leży na symetralnej odcinka AB.
- A = (-2, -4), B = (-6, 8)
- Dane prostej i podziału
- ramię CA: 7x - y + 10 = 0 |AM|: |MC| = 1: 2
- Krok 2. Środek odcinka AB
- Symetralna przechodzi przez środek S odcinka AB: S = ≤ft( x_A + x_B 2, y_A + y_B 2).
- S = ≤ft( (-2) + (-6) /2, (-4) + 8 /2)
- sumujemy współrzędne A i B w liczniku
- S = ≤ft( -8 /2, 4 /2)
- dzielimy każdą sumę przez dwa
- S = (-4, 2)
- Krok 3. Wierzchołek C
- C to punkt wspólny prostej ramienia CA i symetralnej AB (prostej prostopadłej do AB przez S).
- symetralna AB: x - 3y + 10 = 0
- kierunek AB jest wektorem normalnym symetralnej, która przechodzi przez S
- cases 7x - y + 10 = 0 x - 3y + 10 = 0 cases
- C spełnia oba równania - rozwiązujemy układ dwóch prostych
- C = (-1, 3)
- Krok 4. Środek okręgu M
- M dzieli AC w stosunku |AM|: |MC| = 1: 2 od A: M = 2 · A + 1 · C 1 + 2.
- M = 2 · (-2, -4) + 1 · (-1, 3) / 3
- waga n = 2 przy A, waga m = 1 przy C - większa waga po stronie dalszego końca
- M = ≤ft( -5 / 3, -5 / 3)
- upraszczamy każdą współrzędną
- M = ≤ft(-5/3, -5/3)
- Krok 5. Promień i równanie okręgu
- Promień r = |MC| = 2 3 |CA|, bo |MC| to 2 3 długości CA. Wygodniej liczyć r^2.
- |CA|^2 = 1^2 + 7^2 = 50
- kwadrat odległości A i C ze wzoru na odległość punktów
- r^2 = ≤ft( 2 / 3)^2 · 50 = 200/9
- kwadrat stosunku razy kwadrat długości ramienia
- ≤ft(x + 5/3)^2 + ≤ft(y + 5/3)^2 = 200/9
Najczęstsza pomyłka to odwrócenie wag przy podziale odcinka. Dla |AM|: |MC| = 1: 2 punkt M jest bliżej A, więc M = 2· A + 1· C 1+2 - większą wagę ma wierzchołek C (dalszy koniec). Zamiana wag daje inny punkt. Druga pułapka: mylenie r z r^2. Po prawej stronie równania okręgu stoi r^2 = 200/9, a nie r ani √(r^2).
Wierzchołek C można też wyznaczyć bez symetralnej - podstawiając ogólny punkt prostej ramienia do warunku |CA| = |CB|. Metoda z symetralną jest jednak krótsza, bo od razu daje drugie równanie liniowe zamiast równania z kwadratami.