Wyznacz okrąg styczny do boków

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach B = (-2, 1) i C = (-1, 5) oraz środku symetrii M = ( 1 2 , 5 2 ) . Okrąg O przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Pierwsza współrzędna środka okręgu O jest liczbą dodatnią. Wyznacz równanie okręgu O .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: dwusieczna kąta i warunek przejścia przez początek układu

  1. Dane
  2. B = (-2, 1), C = (-1, 5), M = ( #DFC173 1 2 , #DFC173 5 2 )
  3. Brakujące wierzchołki
  4. M = ( 1 2 , 5 2 )
  5. środek symetrii jest środkiem obu przekątnych, więc suma wierzchołków przeciwległych równa się podwojonemu M
  6. 2M = (1, 5)
  7. wierzchołek przeciwległy do danego jest jego obrazem w symetrii środkowej o środku M
  8. D = (3, 4)
  9. drugi brakujący wierzchołek wyznaczamy tak samo, odejmując od podwojonego M drugi z danych wierzchołków
  10. A = (2, 0)
  11. Prosta AB
  12. A = (2, 0), ; B = (-2, 1)
  13. dwa wierzchołki boku wyznaczają jego wektor kierunkowy
  14. AB = (-4, 1)
  15. wektor normalny prostej jest prostopadły do jej wektora kierunkowego, bierzemy go po skróceniu przez wspólny dzielnik
  16. n_1 = (1, 4)
  17. prosta o zadanym wektorze normalnym przechodząca przez wierzchołek A
  18. x + 4y - 2 = 0
  19. Prosta BC
  20. B = (-2, 1), ; C = (-1, 5)
  21. tak samo postępujemy z bokiem sąsiednim
  22. BC = (1, 4)
  23. wektor normalny drugiej prostej jest prostopadły do jej wektora kierunkowego
  24. n_2 = (4, -1)
  25. prosta o zadanym wektorze normalnym przechodząca przez wierzchołek B
  26. 4x - y + 9 = 0
  27. Równe odległości od obu prostych
  28. d(S, AB) = d(S, BC) = r
  29. |x + 4y - 2 | 17 = |4x - y + 9 | 17
  30. okrąg jest styczny do obu prostych, więc jego środek jest od nich równo oddalony, a oba wektory normalne mają tę samą długość, więc mianowniki się skracają
  31. |x + 4y - 2 | = |4x - y + 9 |
  32. drugi przypadek znaku odpowiada dwusiecznej kąta zewnętrznego i prowadzi do równania bez rozwiązań, więc zostaje ten
  33. x + 4y - 2 = - (4x - y + 9 )
  34. porządkujemy równanie i skracamy przez wspólny dzielnik
  35. 5x + 3y + 7 = 0
  36. Przejście przez początek układu
  37. |SO| = r
  38. x^2 + y^2 = (x + 4y - 2 )^2 17
  39. kwadrat odległości środka od początku układu równa się kwadratowi promienia, czyli kwadratowi odległości środka od prostej AB
  40. 17x^2 + 2x - 19 = 0
  41. po podstawieniu i uporządkowaniu zostaje równanie kwadratowe z jedną niewiadomą
  42. x = 1 lub x = - 19 17
  43. Wybór okręgu i wynik
  44. S = (1, -4) lub S = (- 19 17 , - 8 17 )
  45. obie wartości x po wstawieniu do równania dwusiecznej dają środki dwóch okręgów spełniających warunki styczności, wybieramy ten wskazany w treści zadania
  46. (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 17