Najmniejsze pole trójkąta wpisanego w kwadrat
Dany jest prostokąt ABCD, w którym |AB| = 8 oraz |AD| = 5. Rozważamy wszystkie trójkąty DEF, w których punkt E leży na boku AB, a punkt F leży na boku BC, przy czym |CF| = x oraz |EB| = 2x, gdzie x (0, 4). Niech P(x) oznacza pole trójkąta DEF w zależności od długości x. **Wyznacz wzór funkcji P zmiennej x. Oblicz długość x odcinka CF, dla której pole trójkąta DEF jest najmniejsze.**
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Pole jako różnica i wierzchołek paraboli
- Tę samą funkcję można zapisać w postaci kanonicznej P(x) = (x - 2)^2 + 16, gdzie wierzchołek ma współrzędne (2, 16). Dla kwadratu a = b.
- Dane i oznaczenia
- |CF| = x oraz |EB| = 2x, x (0, 4) (rysunek w treści zadania)
- P(x) = pole DEF
- Pole jako różnica
- P(x) = 40 - S_ ADE - S_ DCF - S_ EBF
- pole figury ABCD bez trzech trójkątów prostokątnych w narożach A, C, B
- P(x) = 2 2 x^2 - 8 2 x + 40 2
- przyprostokątne narożników wyrażamy przez x; składniki liniowe od |EB| i |CF| częściowo się znoszą
- P(x) = x^2 - 4x + 20
- Wierzchołek: x minimalizujące pole
- ramiona w górę (a>0), więc wierzchołek daje minimum
- x_w = 4 /2· 1
- pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli a_2x^2 - a_1x + a_0
- x_w = 4 / 2 = 2
- Najmniejsze pole
- P_ min = 1· 2 ^2 - 4· 2 + 20
- wstawiamy x_w do wzoru funkcji P
- P_ min = 16
Najczęstsza pomyłka: użycie wzoru x_w = -b/a bez podzielenia przez 2a, co podwaja wynik, albo podanie wartości pola P_ min w miejsce szukanego x.
Współczynnik przy x^2 jest dodatni, więc parabola ma minimum w wierzchołku, a wartość x_w zawsze leży wewnątrz przedziału (0, 4).