Największe pole powierzchni prostopadłościanu
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź |BC| ma długość 8 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 22. Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi |AB|. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi |AB| tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: funkcja kwadratowa i jej wierzchołek
- Krawędź |AB| o długości 7 daje prostopadłościan o największym polu powierzchni całkowitej.
- Krok 1. Krawędzie z wierzchołka B
- trzecia krawędź w zależności od x
- |AB| + |BC| + |BF| = 22
- z wierzchołka B wychodzą dokładnie trzy krawędzie: znana, szukana i trzecia
- x + 8 + |BF| = 22
- odejmujemy znaną długość od obu stron równania
- x + |BF| = 22 - 8 = 14
- zostawiamy po lewej stronie tylko trzecią krawędź
- |BF| = 14 - x
- Krok 2. Wzór funkcji P
- P = 2≤ft(|AB|·|BC| + |AB|·|BF| + |BC|·|BF|)
- pole powierzchni całkowitej to podwojona suma pól trzech różnych ścian
- P(x) = 2≤ft(8x + 8(14 - x) + x(14 - x))
- składniki 8x i -8x redukują się
- P(x) = 2≤ft(-x^2 + 14x + 112)
- mnożymy każdy składnik nawiasu przez 2
- P(x) = -2x^2 + 28x + 224
- Krok 3. Dziedzina funkcji P
- x > 0 i 14 - x > 0
- obie krawędzie muszą mieć dodatnią długość
- x > 0 i x < 14
- oba warunki muszą zachodzić jednocześnie
- D = (0, 14)
- Krok 4. Wierzchołek paraboli
- a = -2 < 0, więc P przyjmuje w wierzchołku wartość największą
- p = -b/2a = -28 /2·(-2)
- podstawiamy b = 28 oraz a = -2 ze wzoru funkcji P
- p = -28 /-4 = 7
- wierzchołek należy do dziedziny (0, 14), więc jest rozwiązaniem
- x = 7