Postać kanoniczna, oś symetrii i miejsca zerowe po przesunięciu
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (2, 7). Parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (-1, 25).
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
12.1 Postać kanoniczna: wyznacz a z punktu
- Postać kanoniczna to a(x-p)^2+q, gdzie (p,q) to wierzchołek - znaki w nawiasie i przy q biorą się wprost ze współrzędnych (2, 7), bez zmiany.
- Krok 1. Szkielet z wierzchołka
- współrzędne wierzchołka (2, 7) wstawiamy w postać a(x-p)^2+q
- f(x) = a(x - 2)^2 + 7
- Krok 2. Wyznacz a z punktu paraboli
- parabola przechodzi przez (-1, 25)
- 25 = a(-1 - (2))^2 +7
- podstawiamy x = -1 i f(x) = 25, liczymy (-1 - (2))^2 = 9
- 25 = a · 9 +7
- przenosimy wyraz wolny q = 7 na lewą stronę
- 18 = a · 9
- dzielimy przez współczynnik przy a
- a = 18 9 = 2
- Krok 3. Złóż postać kanoniczną
- wstawiamy a = 2, p = 2, q = 7
- f(x) = 2(x-2)^2+7
12.2 Oś symetrii: pionowa przez wierzchołek
- Druga współrzędna wierzchołka (q = 7) to wysokość wierzchołka, NIE oś symetrii. Oś symetrii zawsze opisuje równanie x =, nigdy y =.
- Oś symetrii = x wierzchołka
- wierzchołek (2, 7) - bierzemy pierwszą współrzędną
- x = x_W = 2
- oś symetrii jest pionowa, więc ma postać x = const - tą stałą jest x-owa współrzędna wierzchołka
- x = 2
12.3 Miejsca zerowe g: g(x)=f(x)-k
- Miejsca zerowe g leżą symetrycznie wokół osi x = p w odległości d: x_ 1,2 = p ± d. Dlatego ich suma to 2p, średnia to p, a iloczyn to p^2 - d^2.
- Krok 1. Postać kanoniczna g
- g(x) = f(x) - 15, więc od wyrazu wolnego f odejmujemy k
- g(x) = 2(x - 2)^2 +7 - (15)
- wyraz wolny f to q = 7; po odjęciu k = 15 zostaje q - k = -8
- g(x) = 2(x - 2)^2 - 8
- Krok 2. Miejsca zerowe
- g(x) = 0, dzielimy przez a i korzystamy z (x-p)^2 = d^2
- (x - 2)^2 = 2^2
- po podzieleniu przez a zostaje kwadrat równy d^2 = 2^2
- x - (2) = ± 2
- pierwiastkujemy obie strony - stąd dwa rozwiązania x = 2 ± 2
- x_1 = 0, x_2 = 4
- Krok 3. Policz szukaną wielkość
- podstaw x_1 = 0, x_2 = 4
- ≤ft|x_1 - x_2 | = ≤ft|(0) - (4) |
- wstawiamy oba miejsca zerowe i liczymy
- ≤ft|x_1 - x_2 | = 4
Najczęstsze błędy: (1) w postaci kanonicznej zła kolejność znaku - (x-p) dla wierzchołka o dodatnim p, a nie (x+p); (2) podanie osi symetrii jako y = q zamiast x = p; (3) w 12.3 mylenie sumy (2p) z iloczynem (p^2-d^2) miejsc zerowych.
Skąd d w 12.3? Stała k = 15 to dokładnie wysokość, o jaką trzeba obniżyć parabolę, by wierzchołek dotknął osi Ox - a a· d^2 = k - q wiąże d z parametrami. Miejsca zerowe są odległe od osi symetrii o d = 2.