Wyznacz parametr ze wzorów Viète'a
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2 + (m + 1)x + 2m - 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek m≤ft(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (2m - 8) · ≤ft(x_1 + x_2) - 6.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Wzory Viète'a i rozkład wielomianu
- Wyróżnik
- x^2 + (m + 1)x + 2m - 2 = 0
- = ≤ft(m + 1)^2 - 4≤ft(2m - 2)
- wyróżnik tego równania jest kwadratem zupełnym
- = ≤ft( m - 3)^2
- kwadrat jest dodatni dokładnie wtedy, gdy jego podstawa jest różna od zera
- m `≠ 3
- Wzory Viète'a
- x_1 + x_2 = -m - 1, x_1x_2 = 2m - 2
- suma pierwiastków to współczynnik przy x ze zmienionym znakiem, iloczyn to wyraz wolny
- ≤ft(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = ≤ft(-m - 1)^2 - 3≤ft(2m - 2)
- podnosimy sumę do kwadratu i redukujemy wyrazy podobne
- ≤ft(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = m^2 - 4m + 7
- Warunek z treści
- m≤ft(m^2 - 4m + 7) = (2m - 8) · ≤ft(-m - 1) - 6
- przenosimy wszystko na lewą stronę i redukujemy wyrazy podobne
- m^3 - 2m^2 + m - 2 = 0
- Rozkład na czynniki
- pierwiastka szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego
- ≤ft(m - 2)≤ft( m^2 + 1) = 0
- drugi czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc zeruje się tylko pierwszy
- m = 2
Rozwiązanie równania wielomianowego to jeszcze nie odpowiedź. Otrzymaną wartość parametru trzeba skonfrontować z warunkiem > 0.