Wzory Viète'a i nierówność z potęgami pierwiastków
Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie x^2 + kx + k = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2 spełniające warunek x_1^2 + x_2^2 + 2 x_1 x_2 ≤ 9.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: wzory Viète'a i nierówność
- Krok 1. Dwa różne pierwiastki
- warunek > 0
- = ≤ft( k)^2 - 4 · ≤ft( k) > 0
- równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dokładnie wtedy, gdy delta jest dodatnia
- k^2 - 4k > 0
- wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
- k≤ft( k - 4) > 0
- parabola z ramionami w górę przyjmuje wartości dodatnie na zewnątrz miejsc zerowych
- k (-∞; 0) (4; +∞)
- Krok 2. Wzory Viète'a
- x_1 + x_2 = -k, x_1 x_2 = k
- sumę kwadratów pierwiastków wyrażamy przez ich sumę i iloczyn
- x_1^2 + x_2^2 = ≤ft( -k)^2 - 2 · ≤ft( k)
- podstawiamy wzory Viète'a i redukujemy
- x_1^2 + x_2^2 = k^2 - 2k
- Krok 3. Warunek jako nierówność parametru
- x_1^2 + x_2^2 + 2 x_1 x_2 ≤ 9
- lewa strona to rozwinięty kwadrat sumy pierwiastków
- ≤ft( x_1 + x_2)^2 ≤ 9
- wstawiamy sumę pierwiastków z kroku 2
- ≤ft( -k)^2 ≤ 9
- kwadrat znosi znak minus
- k^2 ≤ 9
- Krok 4. Rozwiązanie nierówności
- k^2 ≤ 9
- nierówność kwadratowa - porównujemy wartość bezwzględną parametru z pierwiastkiem progu
- -3 ≤ k ≤ 3
- Krok 5. Część wspólna
- przecięcie z warunkiem > 0
- k (-∞; 0) (4; +∞)
- rozwiązanie nierówności z kroku 4 przecinamy z warunkiem istnienia dwóch różnych pierwiastków
- k [-3; 0)