Parametr, dla którego pierwiastki leżą w przedziale
Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru t, gdzie t `≠ 0, dla których funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = -t^2x^2 + 2tx + 8t - 1 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (-6, 6).
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: warunki na pierwiastki w przedziale
- Klucz to komplet czterech warunków (>0, znak na obu końcach, wierzchołek wewnątrz) - pominięcie któregokolwiek daje za szeroki lub za wąski zbiór parametru.
- Krok 1. Współczynniki trójmianu
- Ze wzoru odczytujemy współczynniki przy x^2, przy x oraz wyraz wolny.
- aligned f(x) &= -t^2x^2 + 2tx + 8t - 1 [2pt] & przy x^2: -t^2, przy x: 2t, wolny: 8t - 1 aligned
- Krok 2. Wyróżnik
- = b^2 - 4ac
- wstawiamy odczytane współczynniki
- = (2t)^2 - 4 · (-t^2) · (8t - 1)
- składnik b^2 skraca się z częścią -4ac, zostaje wyraz z t^3
- = 32t^3
- Krok 3. Wierzchołek i komplet warunków
- Współrzędna wierzchołka x_w = - b 2a.
- x_w = - b 2a = #E53A3A - 2t 2 · (-t^2)
- po skróceniu t zostaje odwrotność parametru
- x_w = 1 t
- oba różne pierwiastki są w (-6, 6) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą wszystkie cztery warunki jednocześnie
- > 0;; f(-6) < 0;; f(6) < 0;; -6 < x_w < 6
- Krok 4. Znak f(6)
- Warunek na prawym końcu rozstrzyga nierówność - liczymy f(6) i rozkładamy.
- f(6) = -t^2 · 36 + 2t · 6 + 8t - 1
- grupujemy wyrazy: kwadratowy, liniowy i wolny
- f(6) = -36t^2 + 20t - 1
- trójmian względem t zapisujemy jako iloczyn dwóch czynników liniowych
- f(6) = -(2t - 1)(18t - 1)
- Krok 5. Część wspólna warunków
- >0 i wierzchołek są spełnione dla t>0; o granicy decyduje znak f(6).
- f(6) < 0 (2t - 1)(18t - 1) > 0;; t > 1/2
- iloczyn czynników jest dodatni powyżej większego pierwiastka; razem z pozostałymi warunkami daje półprostą
- t (1/2, +∞)
Sprawdzenie tylko >0 i f(6) < 0, bez warunku na drugim końcu i bez położenia wierzchołka. Pierwiastki mogą wtedy wpaść poza przedział (-6, 6).
Znaki funkcji na końcach zależą od kierunku ramion: dla ramion w górę żądamy f(±6) > 0, dla ramion w dół f(±6) < 0 (czyli a· f(±6) > 0).