Oblicz trójkę geometryczną
Wyrazy a_ 1 oraz a_ 3 rosnącego ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, spełniają warunek a_ 1 + a_ 3 = -2. Trzywyrazowy ciąg (a_ 3 + 7, a_ 2 - 4, -1/2a_ 1) jest geometryczny. Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: warunek geometryczny jako równanie z niewiadomą r
- Wyraz środkowy
- a_ 1 + a_ 3 = 2a_ 2 = -2
- indeksy 1 oraz 3 leżą symetrycznie wokół 2, więc ich suma to podwojony wyraz środkowy
- a_ 2 = -1
- Wyrazy skrajne przez różnicę
- a_ 3 = -1 + r, a_ 1 = -1 - r
- Warunek ciągu geometrycznego
- kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych
- (-1 - 4)^2 = ((-1 + r) + 7)· (-1/2)(-1 - r)
- liczymy wyraz środkowy i porządkujemy pierwszy nawias
- 25 = (6 + r)· (-1/2)(-1 - r)
- mnożymy obie strony przez odwrotność ułamka stojącego przy wyrazie skrajnym
- -50 = (6 + r)(-1 - r)
- -50 = -6 - 7r - r^2
- r^2 + 7r - 44 = 0
- Różnica ciągu arytmetycznego
- = (7)^2 - 4· 1· (-44) = 225
- r = -7 ± 15 / 2 = 4 lub -11
- ciąg arytmetyczny jest rosnący, więc jego różnica jest dodatnia, drugi pierwiastek odrzucamy
- r = 4
- Wyrazy ciągu geometrycznego
- a_ 3 = -1 + (4) = 3, a_ 1 = -1 - (4) = -5
- wstawiamy obliczone wyrazy ciągu arytmetycznego do trójki
- (3) + 7 = 10, -1 - 4 = -5, -1/2· (-5) = 5/2
- 10, -5, 5/2