Ciag geo-aryt-geo po modyfikacjach
Trzywyrazowy ciąg (x, y, z) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny. Oblicz x, y oraz z.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: układ równań i trójmian kwadratowy
- Krok 1. Trzy warunki, trzy równania
- (x, y, z) geometryczny kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych
- y^2 = xz (1)
- po pomniejszeniu trzeciego wyrazu o 4 ciąg jest arytmetyczny - środkowy wyraz to średnia arytmetyczna skrajnych
- 2y = x + z - 4 (2)
- ciąg ≤ft(x, y - 1, z - 4 - 1) jest geometryczny - kwadrat środkowego równa się iloczynowi skrajnych
- ≤ft(y - 1)^2 = x≤ft(z - 4 - 1) (3)
- Krok 2. Wyznacz x i z przez y
- ≤ft(y - 1)^2 = x≤ft(z - 4 - 1)
- rozwijamy kwadrat po lewej stronie i wymnażamy nawias po prawej
- y^2 - 2,y + 1 = xz - 5,x
- z równania (1) podstawiamy xz = y^2 - wyrazy y^2 po obu stronach się redukują
- -2,y + 1 = -5,x
- dzielimy obie strony przez współczynnik przy x i upraszczamy ułamek
- x = 2y - 1/5
- z równania (2) mamy z = 2y + 4 - x - podstawiamy wyznaczone x
- z = 8y + 21/5
- Krok 3. Równanie kwadratowe
- y^2 = ≤ft( 2y - 1/5)·≤ft( 8y + 21/5)
- podstawiamy x i z do równania (1) i mnożymy obie strony przez iloczyn mianowników
- 25y^2 = ≤ft(2y - 1)≤ft(8y + 21)
- wymnażamy nawiasy, przenosimy wszystko na jedną stronę i skracamy przez wspólny dzielnik
- 9y^2 - 34,y + 21 = 0
- obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego
- = 34^2 - 4· 9· 21 = 400, √() = 20
- stosujemy wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego
- y = 34 ± 20 / 18
- otrzymujemy dwa rozwiązania - każde z nich prowadzi do poprawnej trójki
- y = 3 lub y = 7/9
- Pierwsza trójka
- y = 3
- x = 1, z = 9
- podstawiamy tę wartość y do wzorów na x i z z kroku 2
- ≤ft(1, 3, 9)
- Druga trójka
- y = 7/9
- x = 1/9, z = 49/9
- podstawiamy tę wartość y do wzorów na x i z z kroku 2
- ≤ft(1/9, 7/9, 49/9)
- Odpowiedź
- ≤ft(1, 3, 9) oraz ≤ft(1/9, 7/9, 49/9)
Najczęstsza pomyłka: zatrzymanie się po znalezieniu pierwszej trójki. Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki i oba prowadzą do trójek spełniających wszystkie warunki zadania - odpowiedź musi zawierać obie.