Iloczyn wyrazow ciagu geometrycznego

Siedmiowyrazowy ciąg geometryczny (a_n) spełnia warunek a_ 3 a_ 5 = 2^ 4 oraz a_ 4 > 0 . Iloczyn a_1 a_2 a_ 7 jest równy:

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klucz: pary równoodległe od środka

  1. Iloraz q nie wpływa na wynik - przy mnożeniu wszystkich wyrazów potęgi q znoszą się symetrycznie.
  2. Krok 1. Wyznacz środek
  3. a_ 3 a_ 5 = a_ 4 ^2 = 2^ 4
  4. wyrazy równoodległe od środka mają iloczyn równy a_ 4 ^2 ; znak bierzemy z warunku
  5. a_ 4 = 2^ 2
  6. Krok 2. Grupuj w pary
  7. P = #E53A3A (a_1 a_ 7 ) a_ 4
  8. łączymy 3 pary równoodległych od środka, każda ma iloczyn a_ 4 ^2
  9. P = (a_ 4 ^2)^ 3 a_ 4
  10. Krok 3. Środek do potęgi 7
  11. P = (a_ 4 ^2)^ 3 a_ 4 = a_ 4 ^ 7
  12. sumujemy wykładniki: iloczyn wszystkich wyrazów to wyraz środkowy w potędze 7
  13. P = (2^ 2 )^ 7
  14. wstawiamy wartość wyrazu środkowego
  15. P = 16384

Reguła działa dla każdej nieparzystej liczby wyrazów: iloczyn 2k+1 kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego równa się wyrazowi środkowemu podniesionemu do potęgi 2k+1 .