Ciag geo-aryt-geo po modyfikacjach

Trzywyrazowy ciąg (x, y, z) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o 4 , a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1 , to otrzymamy nowy ciąg geometryczny. Oblicz x , y oraz z .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: układ równań i trójmian kwadratowy

  1. Krok 1. Trzy warunki, trzy równania
  2. (x, y, z) geometryczny kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych
  3. y^2 = xz (1)
  4. po pomniejszeniu trzeciego wyrazu o 4 ciąg jest arytmetyczny - środkowy wyraz to średnia arytmetyczna skrajnych
  5. 2y = x + z - 4 (2)
  6. ciąg (x, y - 1, z - 4 - 1 ) jest geometryczny - kwadrat środkowego równa się iloczynowi skrajnych
  7. (y - 1 )^2 = x (z - 4 - 1 ) (3)
  8. Krok 2. Wyznacz x i z przez y
  9. (y - 1 )^2 = x (z - 4 - 1 )
  10. rozwijamy kwadrat po lewej stronie i wymnażamy nawias po prawej
  11. y^2 - 2 ,y + 1 = xz - 5 ,x
  12. z równania (1) podstawiamy xz = y^2 - wyrazy y^2 po obu stronach się redukują
  13. -2 ,y + 1 = -5 ,x
  14. dzielimy obie strony przez współczynnik przy x i upraszczamy ułamek
  15. x = 2y - 1 5
  16. z równania (2) mamy z = 2y + 4 - x - podstawiamy wyznaczone x
  17. z = 8y + 21 5
  18. Krok 3. Równanie kwadratowe
  19. y^2 = ( 2y - 1 5 ) ( 8y + 21 5 )
  20. podstawiamy x i z do równania (1) i mnożymy obie strony przez iloczyn mianowników
  21. 25y^2 = (2y - 1 ) (8y + 21 )
  22. wymnażamy nawiasy, przenosimy wszystko na jedną stronę i skracamy przez wspólny dzielnik
  23. 9y^2 - 34 ,y + 21 = 0
  24. obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego
  25. = 34^2 - 4 9 21 = 400, = 20
  26. stosujemy wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego
  27. y = 34 20 18
  28. otrzymujemy dwa rozwiązania - każde z nich prowadzi do poprawnej trójki
  29. y = 3 lub y = 7 9
  30. Pierwsza trójka
  31. y = 3
  32. x = 1, z = 9
  33. podstawiamy tę wartość y do wzorów na x i z z kroku 2
  34. (1, 3, 9 )
  35. Druga trójka
  36. y = 7 9
  37. x = 1 9 , z = 49 9
  38. podstawiamy tę wartość y do wzorów na x i z z kroku 2
  39. ( 1 9 , 7 9 , 49 9 )
  40. Odpowiedź
  41. (1, 3, 9 ) oraz ( 1 9 , 7 9 , 49 9 )

Najczęstsza pomyłka: zatrzymanie się po znalezieniu pierwszej trójki. Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki i oba prowadzą do trójek spełniających wszystkie warunki zadania - odpowiedź musi zawierać obie.